fonctions uniformément continues

paolo0
paolo0
dans Analyse
Bonjour à tous,

Je révise la notion de fonction uniformément continue et je me pose la question suivante: "une fonction continue et bornée sur R est-elle uniformément continue?"

D'avance merci!!

Paolo

Réponses

  • Aleg
    Aleg
    Non, prendre $f(x)=\sin (x^2)$.
  • paolo0
    paolo0
    Merci beaucoup.

    Paolo
  • YomGui0
    YomGui0
    Non!!!

    exemple : $f(x)=cos(e^x)$ est bornée sur R mais n'est pas uniformément continue.

    Si $f$ est uniformément continue, il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x$ tout $y$ réels, $|x-y|<\alpha$ implique $|f(x)-f(y)|<1$

    On a $f(ln(2k\pi))=1$ et $f(ln((2k+1)\pi))=-1$ pour tout k entier (non nul).

    Or $ln((2k+1)\pi)-ln(2k\pi)=ln(1+\frac{1}{2k})$ tend vers 0 lorsque k tend vers l'infini, ce qui entre en contradiction avec l'existence du alpha precedent car $f(ln(2k\pi))-f(ln((2k+1)\pi))=2$ pour tout k entier (non nul).

    Et hop...
  • FlawlessBoy
    FlawlessBoy
    c'est sur un compact que ça marche nan !?
  • Aleg
    Aleg
    La touche F5, Yomgui...;)
  • ryo
    ryo
    FlawlessBoy : très exactement toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (on n'a plus plus besoin du fait d'etre borné puisque cette condition est réalisée automatiquement avec ces hypothèses). C'est le théorème de Heine.


    Pour compléter la question initiale, on peut montrer qu'une fonction $f$ uniformément continue sur $\R$ tout entier est nécessairement telle que $f(x) \leq a|x|+b$ pour tout $x \in \R$ (avec $a$ et $b$ des constantes). Ce n'est pas suffisant : voir les contre-exemples de Aleg et YomGui qui doivent encore marcher pour ca
  • Sylvain
    Sylvain
    Elle fait quoi au juste la touche F5 ?
  • FlawlessBoy
    FlawlessBoy
    Voilà merci ryo...;-) j'suis une brele en analyse et en topo, mais je connais un peu mes classiques lOl :-p
  • Aleg
    Aleg
    Salut Sylvain,
    La touche F5 permet d'actualiser la page courante : ça donne donc le même résultat que de cliquer sur l'icône "actualiser" de ton navigateur.
    Je disais cela évidemment parce que le "Non !!!" énergique de YomGui répondait bien à la question initiale de Paolo mais montrait aussi qu'il n'avait pas eu connaissance des messages précédents, faute d'avoir actualisé avant de poster.
    Mais, bon, sa réponse était bien plus développée que la mienne, puisqu'il donnait une preuve.
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