Développement asymptotique de la série de Bertrand

Bonjour,

La fonction t->1/(tlog(t))) est décroissante sur ]1,+OO[, tu peux donc encadrer 1/(nlog(n)) par deux intégrales et tu trouveras un équivalent de ta série (log(log n)) si je ne me suis pas trompé dans mon calcul.

Pour les autres termes, tu considère ta somme partielle moins ton équivalent et tu tripatouilles...

Avec Maple : je suppose que tu veux un DA à l'ordre 5 de la somme $\sum_{n=2}^{m} \frac{1}{nln(n)}$,en utilisant la commande "series(sum(1/(n*ln(n)),n=2..m),m=infinity)", on obtient
21803 1 19373 1 29 1
-ln(ln(2)) +

---

---

+

---

---

-

---

---

80640 ln(2) 967680 2 35840 3
ln(2) ln(2)

83 1 1 1
-

---

---

+ 1/5376

---

+ 1/16128

---

- O(1)
322560 4 5 6
ln(2) ln(2) ln(2)

1
+ ln(ln(m)) + 1/2

---

ln(m) m

1
-1 -

---

1 1 ln(m) /
-7/12

---

- 7/12

---

- 1/2

---

|
ln(m) 2 ln(m) |
ln(m) | 1
+

---

+ |1/2

---

2 | 3
m \ ln(m)

1
-2 -

---

1 1 ln(m)
+ 2/3

---

+ 1/3

---

- 1/12

---

2 ln(m) ln(m)
ln(m)

1 -ln(m) - 1\ /
1/2

---

+ 1 -

---

| |
ln(m) 2 | |
ln(m) | / 3 | 499 1
- 1/2

---

| / m + |----

---

ln(m) | / | 720 2
/ \ ln(m)

49 1 29 1 13 1
- --

---

- ---

---

- --

---

60 3 120 ln(m) 40 4
ln(m) ln(m)

1 -2 ln(m) - 1
3 + 1/2

---

-

---

ln(m) 2 /
ln(m) |
- 1/12

---

- 1/2 |
ln(m) |
\

2 \
1 -ln(m) - 1 3 ln(m) + 2 ln(m) + 2|
-1/3

---

- 1 + 1/2

---

- 1/2

---

|
ln(m) 2 3 |
ln(m) ln(m) /

\
| /
| |
-ln(m) - 2| / 4 | 1 71 1
/ln(m) + 1/12

---

| / m + |7/12

---

+ --

---

4 | / | 4 72 3
ln(m) / \ ln(m) ln(m)

1
-4 -

---

ln(m) -ln(m) - 2
+ 1/120

---

- 1/12

---

ln(m) 5
ln(m)

2
ln(m) + 3 ln(m) + 3 31 1 -ln(m) - 2
+ 1/18

---

+ --

---

- 1/6

---

5 45 2 4
ln(m) ln(m) ln(m)

/
1 1 | 1
+ 1/6

---

+ 1/5

---

- 1/2 |1/4

---

+ 1
5 ln(m) | ln(m)
ln(m) \

2
-ln(m) - 1 3 ln(m) + 2 ln(m) + 2
- 1/3

---

+ 1/4

---

2 3
ln(m) ln(m)

2 3 \ /
-11 ln(m) - 6 ln(m) - 12 ln(m) - 6| |
- 1/6

---

|/ln(m) - 1/12 |-4
4 | |
ln(m) / \

2 \
1 -2 ln(m) - 1 6 ln(m) + 5 ln(m) + 2|
- 1/3

---

+ 1/2

---

- 1/2

---

|
ln(m) 2 3 |
ln(m) ln(m) /

\
|
| / 5 1
/ln(m)| / m + O(----)
| / 6
/ m


Voila, alors j'ai fait un copier-coller du résultat maple, ca doit donner un truc moche à l'écran mais je me voyais pas trop taper un truc pareil

Bonjour

AD ,peux tu mettre cette image pour le message de ryo ?

Merci Yalcin mais ce n'est pas la peine pour AD de mettre ton image sur mon message, elle est très bien où elle est, ne t'en fais pas. Un jour (lointain) je saurais peut-etre faire une capture d'écran