Petite question

Je n'ai pas réfléchi au cas où $\mathbb{K}$ est un corps quelconque, mais si l'on est sur $\R$ ou $\C$ c'est oui. En fait, un sous-espace de $M_n(\mathbb{K})$ qui ne contient que des matrices de rang $\leq p$ est forcément de dimension $\leq np$.
On en a déjà parlé sur ce forum : avec une petite recherche, ça devrait se trouver.

Ca y est, j'ai un argument complet.

Deux cas:

- si $\mathbb{K}$ est fini, alors il existe un polynôme unitaire irréductible de degré $n$ (cela provient de la théorie des corps finis, par exemple), et on retombe sur le cas précédent.

- si $\mathbb{K}$ est infini. Soit $T$ une indéterminée sur $\mathbb{K}$.

Lemme: Soient $M_1,\ldots,M_m$ des éléments de $M_n(\mathbb{K})$ linéairement indépendants sur $\mathbb{K}$. Alors ils sont linéairement indépendants sur $\mathbb{K}(T)$, vus comme éléments de $M_n(\mathbb{K}(T))$.

Démo rapide: si on a une combinaison linéaire non triviale des $M_j$ qui est nulle, quitte à multiplier par un polynôme convenable et quitte à diviser par une puissance de $T$ convenable, on peut supposer que les coefficients de cette combinaison sont des polynômes en $T$, non tous divisibles par $T$.
Alors, on obtient une contradiction en faisant $T=0$.


Maintenant soit $V$ un sous-espace de dim $m:=n^2-n+1$ de $M_n(\mathbb{K})$, et soit $M_1,\ldots,M_m$ une base de $V$.

Alors le sous-espace $W$ de $M_n(\mathbb{K}(T))$ engendré par les $M_j$ est de $\dim m$ par le lemme.
Maintenant $f=X^n-T\in \mathbb{K}(T)[X]$ est irréductible.

D'après mon message précédent, $W$ contient une matrice inversible. Autrement dit, il existe $F_1,\ldots,F_m\in\mathbb{K}[T]$ tel que $S(T)=F_1(T) M_1+\ldots+F_m(T) M_m$ ait un déterminant non nul.

Considérons maintenant $P(T)$, le produit des dénominateurs des $F_i(T)$, du numérateur et du dénominateur de $\det(S(T))$. Par hypothèse c'est un polynôme non nul. Comme $S(T)$ n'a qu'un nombre fini de racines et $\mathbb{K}$ est infini, il existe $t\in\mathbb{K}$ tel que $S(t)\neq 0$.

Mais alors $S=F_1(t) M_1+\ldots+F_m(t) M_m$ est une matrice de $V$ inversible, par choix de $T$.

Juste pour revenir sur la démo de l'autre fil, je m'étais pas posé la question à l'époque mais, y a 1 points qui me chagrine:
1. dans le lien sur Google, pourquoi CB=0?

si quelqu'un pouvait m'expliquer...merci!

La preuve de GreginUK pour un corps infini est tout à fait intéressante. Bravo !

Sur toutes ces questions, il devrait y avoir un article assez complet dans un prochain numéro de la RMS. En particulier, on trouvera une preuve, valable sans restriction sur la nature du corps, du fait qu'un sous-ev de matrices non inversibles est au plus de dimension n(n-1), ainsi que la détermination des sous-ev de dimension n(n-1) constitués de matrices non inversibles.

N'oublions pas que Greg enseigne à des Anglais, et qu'en conséquence il lui faut être d'une grande clarté ! Tu vois Greg, ton périple à SoixanteTonnes aura eu au moins un avantage dans ta carrière...:D

KB: non, la droite vectorielle engendrée par une matrice inversible quelconque est non disjointe de GL_n. C'est juste qu'il y a toujours des sous-espaces de dimension n(n-1) disjoints de GL_n (par exemple l'espace des matrices ayant une certaine colonne ou une certaine ligne de zéros, ou plus généralement qui annulent un vecteur ou une forme linéaire fixés).

La réponse est bien celle-là, et de rien :-).

Il me semble que l'excellente preuve de Greg in UK est bien complète. L'autre sens (que n'importe quel entier entre 0 et n(n-1) fait bien l'affaire) est très facile : on prend la matrice, on lui met des zéros dans la première colonne, et on rajoute autant de zéros que nécessaire pour atteindre la dimension souhaitée.

Bonsoir ,

Dans la démonstration de GreginUK , je ne comprends pas ce passage :

" f= X^n - T de K(T)[X] est irréductible "

si quelqu'un peut l'expliquer , d'avance merci ?

Sans filet :

si f= X^n-T n'est pas irréductible, c'est le produit de deux polynômes g et h avec g contenant T dans son expression et h ne le contenant pas (car l'exposant de T est 1).
Dans h il n'y a aucun terme contenant à la fois X et T donc h est de forme h'+T ou h'-T avec h' polynôme en X.
Mézalor g multiplié par h est de la forme gh'+gT ou gh'-gT, donc g est constant, impossible.

Pour l'irréductibilité de $X^n-T$ (avec $n\ge 1$) dans
$(K(T))[X]$, on peut aussi dire :

Pour un polynôme unitaire (ou plus généralement primitif) à coefficients dans un anneau factoriel $A$, l'irréductibilité dans $A[X]$ équivaut à l'irréductibilité dans $K[X]$ où $K$ est le corps des fractions de $A$.

Donc l'irréductibilité de $X^n-T$ dans $(K(T))[X]$ équivaut à son irréductibilité dans $(K[T])[X]$. Mais $(K[T])[X]$ s'identifie à $(K[X])[T]$ où $X^n-T$ est un polynôme de degré $1$. Un polynôme de degré $1$ dans $A[X]$ avec $A$ factoriel (voire seulement intègre), unitaire, doit toujours être irréductible, ça doit être facile à prouver

je me permets de relancer une question déjà posée, pourquoi (dans l'article sur google joint) on a BC=0???