Détermination d'intégrale

dans Analyse
Bonjour,
Comment calculer l'intégrale suivante : $t$ réel positif
\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-tx} \mathrm dx = \frac{\pi}{2} - \arctan(t) \]
Y a-t-il une formule générale pour :
\[ \int_{0}^{\infty} \frac{ e^{-\alpha x}}{x} \mathrm dx \] avec $\alpha$ complexe
Cordialement
Comment calculer l'intégrale suivante : $t$ réel positif
\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-tx} \mathrm dx = \frac{\pi}{2} - \arctan(t) \]
Y a-t-il une formule générale pour :
\[ \int_{0}^{\infty} \frac{ e^{-\alpha x}}{x} \mathrm dx \] avec $\alpha$ complexe
Cordialement
Réponses
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oué ça se fait avec le théorème des résidus il me semble...=)
-
En dérivant par rapport à $t$ (resp. $\alpha$ pour $\alpha\in\R$)?
-
Bonjour RM,
Pour la première intégrale, suivre l'indication de Skilveg : à toi de vérifier d'abord que $F(t)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-tx} \mathrm dx $ est dérivable sur $]0;+\infty [$ (théorème de dérivation sous le signe intégral), puis
$$F'(t)=-\int_0^{+\infty }\,e^{-tx}\sin x\,\mathrm dx $$
Cette intégrale se calcule explicitement en écrivant que c'est la partie imaginaire de
$$-\int_0^{+\infty }\,e^{(i-t)x}\,\mathrm dx =\left [ \frac{1}{t-i}e^{ix}e^{-tx}\right ] _{x=0}^{+\infty }=\frac{1}{i-t}$$
d'où
$$F'(t)=-\frac{1}{t^2+1}$$
Par suite ($F$ étant continue sur $[0;+\infty [$) on a $F(t)=-\arctan t + F(0)$ et il faut savoir (intégrale classique !) que $F(0)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\mathrm dx=\frac{\pi }{2}$. -
re RM,
pour la deuxième intégrale, il y a un gros problème en 0, non..? -
Bonjour,
au lieu de passer en complexes (c'est clair en 0 ça ne marche pas), je pense qu'il vaut mieux faire une double IPP. On devrait tomber sur le même résultat.
Teg -
Ui...la 2e intégrale Diverge a priori!
mais on peut dans le genre calculer l'intégrale de (exp(ax)-exp(bx))/x, entre O et +infty, il me semble... -
Sinon, Aleg,
pour éviter le problème en 0 tu peux intégrer sur $[\epsilon,+\infnty[$ avec $\epsilon \in \R^+$, et avec une continuité en 0 (sur $\epsilon$), on devrait pouvoir conclure ...
J'espère ne pas avoir dit de bêtises !!
Teg -
{\bf Léo}, oui l'intégrale dont tu parles s'appelle une intégrale de Frullani : faire une recherche sur le forum avec les mots-clef "intégrale Frullani", mais elle n'a pas de rapport avec la deuxième intégrale de RM.
{\bf Teg}, je ne comprends pas : tu veux calculer $\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{\varepsilon }^{+\infty }\frac{ e^{-\alpha x}}{x} \mathrm dx $, c'est ça ?
Mais, si cette limite existait, alors l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{ e^{-\alpha x}}{x} \mathrm dx $ existerait alors que ce n'est pas le cas..
Ou alors c'est que je n'ai rien compris à ce que tu voulais dire... -
Merci pour vos réponses.Je suis désolé pour la seconde intégrale je n'est pas réflechi.Si on suppose que l'on intègre plutôt entre un $\epsilon$ et $ +\infty$, je ne vois pas Teg qu'elle integration par partie faire apparraître.
-
Aleg,
non, je veux calculer :
$$F'_{\epsilon}(x)=-\int_\epsilon^{+\infty }\,e^{-tx}\sin x\,\mathrm dx $$
et faire tendre $\epsilon$ vers 0 ...
C'est juste pour calculer F'
Mais c'est peut être faux ....
Teg
[L'intégrale est à partir de $\epsilon$ pas de 0] -
RM,
je ne fait pas les deux, c'est l'IPP ou l'$\epsilon$. (les deux devraient marcher?)
Teg -
ha d'accord, tu parlais de la première intégrale, ça n'était pas vraiment clair dans mon esprit.
Oui, bien entendu, tu peux procéder ainsi, mais je ne vois pas ce que ça apporte de plus simple. -
Désolé (Gros plantage ...)
j'ai confondu 2 posts et j'ai mal lu/compris l'intégrale ...
effectivement ca n'apporte rien mes messages
Teg
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