Paradoxe

Bonsoir,

J'ai lu que si l'on prend n chiffres quelconques, il existe une infinité de puissances de 2 commençant par ces chiffres.

Comment est-ce possible?

Réponses

  • Soit $a$ un entier

    tu t'intéresses à l'ensemble $T$ des entiers $p$ tels que il existe un entier $q$ et un entier $r$ pas plus grand que $10^q-1$ avec $2^p=a\times 10^q+r$

    Et tu veux comprendre pourquoi, selon toi, il est infini.

    Ce n'est pas un paradoxe, c'est un exercice, à priori. En tout cas, ça n'e semble pas choquant... Bon, je t'avouerais que j'ai un peu la flemme de chercher à le résoudre, mais ici, il y a moult gens qui vont te le faire en 2 coups de cuillere à pot lol donc t'inquiete, juste un peu de patience...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • à priori, en remarquant un truc sur une dérivée de niveau TS, pour $p$ supergrand (lol) et $q$ supergrand aussi mais tel que $p-q$ assez petit, l'écart entre $2^p$ et $2^{p+1}$ est plus petit que $1\times 10^q$ (enfin j'espère pour toi lol)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ca me fait penser à quelque chose...

    si on s'interesse aux puissances de 2 commencant (à gauche) par 2006 (par ex), on essaye de trouver n et p/ 2^n soit compris entre 2006*10^p et 2007*10^p
    On se ramene à encadrer entre ln(2006) et ln(2007), n*ln(2)-pln(10)

    Or (n*ln(2)-pln(10), pour n et p naturels) est un sous-groupe additif de R, qui n'etant pas du type aZ et donc dense dans R:

    conclusion: on peut toujours trouver, en jouant sur n et p, de telles puissances de 2..

    VOilà en espérant ne pas trop dire de conneries! ca donne une idée et confirme que ce n'est pas un paradoxe...
  • J'ai compris pour l'existence mais je suis désolé mais j'ai un peu de mal avec l'infini.
  • RM,

    Ce sous groupe de $\R$ est dense dans $\R$:

    Il y a donc une infinité de valeurs (n,p) telles que $n\ln(2)-p\ln(10) \in [\ln(2006),\ln(2007)[$.

    Cordialement
    Teg
  • Bonjour Robert Mireille.

    "Si l'on prend n chiffres quelconques, il existe une infinité de puissances de 2 commençant par ces chiffres."

    Sauf erreur de ma part, je ne crois pas que cela soit exact.


    1) Voici une formulation équivalente du problème.
    Soit n entier donné sup ou égal à 1. Soient a0, ..., a(n-1), n entiers donnés entre 0 et 9.
    Il y a une infinité d'entiers naturels p tels que 2^p soit congru à la somme des ak.10^k modulo 10^n.

    2) Autre formulation équivalente.
    Soit n entier donné sup ou égal à 1.
    L'application qui à tout p de N associe 2^p modulo 10^n dans Z/(10^n)Z est telle que toute image admet une infinité d'antécédents.

    3) Autre formulation équivalente.
    Soit n entier donné sup ou égal à 1.
    L'application qui à tout p de N associe (2^p modulo 2^n ; 2^p modulo 5^n) dans Z/(2^n)Z x Z/(5^n)Z est telle que toute image admet une infinité d'antécédents.
    (Théorème chinois)

    4) Une condition nécessaire.
    Si le problème est vrai, alors les applications qui
    a) à tout p de N associe (2^p modulo 2^n) dans Z/(2^n)Z
    b) à tout p de N associe (2^p modulo 5^n) dans Z/(5^n)Z
    sont telles que toute image admet une infinité d'antécédents.

    5) Une condition encore plus nécessaire.
    Si le problème est vrai, alors les applications qui
    a) à tout p de N associe (2^p modulo 2^n) dans Z/(2^n)Z
    b) à tout p de N associe (2^p modulo 5^n) dans Z/(5^n)Z
    sont SURJECTIVES.

    6) Pour tout entier n sup ou égal à 1,
    a) l'image de la première application est, modulo 2^n, {0 ; 2^0; 2^1; ... ; 2^(n-1)},
    b) l'image de la deuxième application est le sous-groupe engendré par 2 dans le groupe des inversibles de Z/(5^n)Z.

    7) Pour tout entier n sup ou égal à 1,
    a) la première application est surjective <=> n = 1,
    b) la deuxième application n'est jamais surjective.

    8) Il y a des valeurs de n pour lesquelles le problème n'a AUCUNE solution.

    9) Questions ouvertes.
    a) Quelles sont les valeurs de n admettant au moins une solution ?
    b) Quelles sont les valeurs de n admettant une infinité de solutions ?


    Y a-t-il une erreur ?
    Si non, comment répondre aux questions ouvertes ?

    Très cordialement.
  • KB: l'erreur est que les premiers chiffres sont ceux tout à gauche :-)
  • Ca, c'est ballot.

    On efface tout et on recommence !
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