Paradoxe
Bonsoir,
J'ai lu que si l'on prend n chiffres quelconques, il existe une infinité de puissances de 2 commençant par ces chiffres.
Comment est-ce possible?
J'ai lu que si l'on prend n chiffres quelconques, il existe une infinité de puissances de 2 commençant par ces chiffres.
Comment est-ce possible?
Réponses
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Soit $a$ un entier
tu t'intéresses à l'ensemble $T$ des entiers $p$ tels que il existe un entier $q$ et un entier $r$ pas plus grand que $10^q-1$ avec $2^p=a\times 10^q+r$
Et tu veux comprendre pourquoi, selon toi, il est infini.
Ce n'est pas un paradoxe, c'est un exercice, à priori. En tout cas, ça n'e semble pas choquant... Bon, je t'avouerais que j'ai un peu la flemme de chercher à le résoudre, mais ici, il y a moult gens qui vont te le faire en 2 coups de cuillere à pot lol donc t'inquiete, juste un peu de patience...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
à priori, en remarquant un truc sur une dérivée de niveau TS, pour $p$ supergrand (lol) et $q$ supergrand aussi mais tel que $p-q$ assez petit, l'écart entre $2^p$ et $2^{p+1}$ est plus petit que $1\times 10^q$ (enfin j'espère pour toi lol)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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ca me fait penser à quelque chose...
si on s'interesse aux puissances de 2 commencant (à gauche) par 2006 (par ex), on essaye de trouver n et p/ 2^n soit compris entre 2006*10^p et 2007*10^p
On se ramene à encadrer entre ln(2006) et ln(2007), n*ln(2)-pln(10)
Or (n*ln(2)-pln(10), pour n et p naturels) est un sous-groupe additif de R, qui n'etant pas du type aZ et donc dense dans R:
conclusion: on peut toujours trouver, en jouant sur n et p, de telles puissances de 2..
VOilà en espérant ne pas trop dire de conneries! ca donne une idée et confirme que ce n'est pas un paradoxe... -
J'ai compris pour l'existence mais je suis désolé mais j'ai un peu de mal avec l'infini.
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RM,
Ce sous groupe de $\R$ est dense dans $\R$:
Il y a donc une infinité de valeurs (n,p) telles que $n\ln(2)-p\ln(10) \in [\ln(2006),\ln(2007)[$.
Cordialement
Teg -
Bonjour Robert Mireille.
"Si l'on prend n chiffres quelconques, il existe une infinité de puissances de 2 commençant par ces chiffres."
Sauf erreur de ma part, je ne crois pas que cela soit exact.
1) Voici une formulation équivalente du problème.
Soit n entier donné sup ou égal à 1. Soient a0, ..., a(n-1), n entiers donnés entre 0 et 9.
Il y a une infinité d'entiers naturels p tels que 2^p soit congru à la somme des ak.10^k modulo 10^n.
2) Autre formulation équivalente.
Soit n entier donné sup ou égal à 1.
L'application qui à tout p de N associe 2^p modulo 10^n dans Z/(10^n)Z est telle que toute image admet une infinité d'antécédents.
3) Autre formulation équivalente.
Soit n entier donné sup ou égal à 1.
L'application qui à tout p de N associe (2^p modulo 2^n ; 2^p modulo 5^n) dans Z/(2^n)Z x Z/(5^n)Z est telle que toute image admet une infinité d'antécédents.
(Théorème chinois)
4) Une condition nécessaire.
Si le problème est vrai, alors les applications qui
a) à tout p de N associe (2^p modulo 2^n) dans Z/(2^n)Z
b) à tout p de N associe (2^p modulo 5^n) dans Z/(5^n)Z
sont telles que toute image admet une infinité d'antécédents.
5) Une condition encore plus nécessaire.
Si le problème est vrai, alors les applications qui
a) à tout p de N associe (2^p modulo 2^n) dans Z/(2^n)Z
b) à tout p de N associe (2^p modulo 5^n) dans Z/(5^n)Z
sont SURJECTIVES.
6) Pour tout entier n sup ou égal à 1,
a) l'image de la première application est, modulo 2^n, {0 ; 2^0; 2^1; ... ; 2^(n-1)},
b) l'image de la deuxième application est le sous-groupe engendré par 2 dans le groupe des inversibles de Z/(5^n)Z.
7) Pour tout entier n sup ou égal à 1,
a) la première application est surjective <=> n = 1,
b) la deuxième application n'est jamais surjective.
8) Il y a des valeurs de n pour lesquelles le problème n'a AUCUNE solution.
9) Questions ouvertes.
a) Quelles sont les valeurs de n admettant au moins une solution ?
b) Quelles sont les valeurs de n admettant une infinité de solutions ?
Y a-t-il une erreur ?
Si non, comment répondre aux questions ouvertes ?
Très cordialement. -
KB: l'erreur est que les premiers chiffres sont ceux tout à gauche :-)
-
Ca, c'est ballot.
On efface tout et on recommence !
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Bonjour!
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