Un endomorphisme inversible
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai du mal a rédiger l'exercice suivant:
Soit $E$ un $K$ espace vectoriel et $f$ endomorphisme nilpotent d'ordre $p$ pour la composition.
On définit $g$ de la manière suivante:
\[g= \sum_{k=0}^{p-1}\lambda_{k}f^k \]
On veut montrer que $g$ inversible ssi $\lambda_{0} \neq 0$ et que $g^{-1}$ appartient à $Vect(idE, f,..,f^{p-1})$
Le sens direct est simple à démontrer.
En ce qui concerne le sens indirect :
Soit $x \in E$ diffèrent de 0 tel que $g(x)=0$ et note $t$ le plus grand entier naturel tel que $f^t(x) \neq 0$ , il existe car $\lambda_{0} \neq 0$ .
\[ f^t(g(x))=\sum_{k=0}^{p-1}\lambda_{k}f^{k+t}(x)=0 \]
D'où $\lambda_{0} f^t(x) =0$ ce qui est contradictoire, donc $x=0$ ainsi $g$ injective.
En ce qui concerne la surjection , je travaille par analyse synthèse:
Analyse
Soit $y \in E$ et $x_{0} \in E$ tel que $y=g(x_{0})$ ,
Je propose de montrer par réccurence descendante que " $f^{i}(x_{0})$ s'exprime comme combinaison linéaire des $(f^j(y))_{j \in {0,..,p-1}}$"
Pour $i=p-1 $:
\[f^{p-1}(y)=f^{p-1}(g(x_{0}))=\lambda_{0} f^{p-1}(x_{0}) \]
d'où $f^{p-1}(x_{0})=\frac{1}{\lambda_{0}} f^{p-1}(y) $ ( car $ \lambda_{0} \neq 0 $)
Supposons la propriété vrai pour $i$ fixé montrons qu'elle vrai pour $i-1$:
\[f^{i-1}(y)=f^{i-1}(g(x_{0}))=\sum_{k=0}^{p-i}\lambda_{k}f^{k+i-1}(x_{0}) \]
\[\frac{1}{\lambda_{0}} ( f^{i-1}(y) -\sum_{k=1}^{p-i}\lambda_{k}f^{k+i-1}(x_{0}))
= f^{i-1}(x_{0}) \]
d'où la propriété.
On peut donc conclure d'après la propriété démontré par réccurence que $ x_{0}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $(f^j(y))_{j \in {0,..,p-1}}$ on a donc entièrement défini $x_{0}$ et on montre au passage que $g^{-1}$ appartient à $Vect(idE, f,..,f^{p-1})$
Synthèse
C'est là où je bloque , comment dois-je la rédiger et est-elle indispensable?
Je voudrais aussi savoir, s'il n'y a pas une autre méthode plus simple je pense que je me suis compliqué la vie.
P.S: Une question qui n'a rien à voir, est-il bénéfique pour un élève de spé de maîtriser la réduction de Jordan ?
J'ai du mal a rédiger l'exercice suivant:
Soit $E$ un $K$ espace vectoriel et $f$ endomorphisme nilpotent d'ordre $p$ pour la composition.
On définit $g$ de la manière suivante:
\[g= \sum_{k=0}^{p-1}\lambda_{k}f^k \]
On veut montrer que $g$ inversible ssi $\lambda_{0} \neq 0$ et que $g^{-1}$ appartient à $Vect(idE, f,..,f^{p-1})$
Le sens direct est simple à démontrer.
En ce qui concerne le sens indirect :
Soit $x \in E$ diffèrent de 0 tel que $g(x)=0$ et note $t$ le plus grand entier naturel tel que $f^t(x) \neq 0$ , il existe car $\lambda_{0} \neq 0$ .
\[ f^t(g(x))=\sum_{k=0}^{p-1}\lambda_{k}f^{k+t}(x)=0 \]
D'où $\lambda_{0} f^t(x) =0$ ce qui est contradictoire, donc $x=0$ ainsi $g$ injective.
En ce qui concerne la surjection , je travaille par analyse synthèse:
Analyse
Soit $y \in E$ et $x_{0} \in E$ tel que $y=g(x_{0})$ ,
Je propose de montrer par réccurence descendante que " $f^{i}(x_{0})$ s'exprime comme combinaison linéaire des $(f^j(y))_{j \in {0,..,p-1}}$"
Pour $i=p-1 $:
\[f^{p-1}(y)=f^{p-1}(g(x_{0}))=\lambda_{0} f^{p-1}(x_{0}) \]
d'où $f^{p-1}(x_{0})=\frac{1}{\lambda_{0}} f^{p-1}(y) $ ( car $ \lambda_{0} \neq 0 $)
Supposons la propriété vrai pour $i$ fixé montrons qu'elle vrai pour $i-1$:
\[f^{i-1}(y)=f^{i-1}(g(x_{0}))=\sum_{k=0}^{p-i}\lambda_{k}f^{k+i-1}(x_{0}) \]
\[\frac{1}{\lambda_{0}} ( f^{i-1}(y) -\sum_{k=1}^{p-i}\lambda_{k}f^{k+i-1}(x_{0}))
= f^{i-1}(x_{0}) \]
d'où la propriété.
On peut donc conclure d'après la propriété démontré par réccurence que $ x_{0}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $(f^j(y))_{j \in {0,..,p-1}}$ on a donc entièrement défini $x_{0}$ et on montre au passage que $g^{-1}$ appartient à $Vect(idE, f,..,f^{p-1})$
Synthèse
C'est là où je bloque , comment dois-je la rédiger et est-elle indispensable?
Je voudrais aussi savoir, s'il n'y a pas une autre méthode plus simple je pense que je me suis compliqué la vie.
P.S: Une question qui n'a rien à voir, est-il bénéfique pour un élève de spé de maîtriser la réduction de Jordan ?
Réponses
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Pour le sens réciproque, tu peux essayer de démontrer le résultat intermédiaire suivant : si u est nilpotent, alors id-u est inversible (peut-être l'as tu déjà vu en cours ou en exos). Il te restera ensuite à l'appliquer judicieusement à ton problème.
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C'est moi o bien si on écrit tout ça matriciellement tout devient plus simple (dans une base bien choisie) ?
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Si je comprends bien, le sens qui t'embête consiste à montrer que si $\lambda_0\neq 0$, alors $g$ est inversible. À mon avis, le plus simple pour cela est de remarquer qu'alors $g = P(f)$ où $P\in K[X]$ est un polynôme premier à $X^p$, de sorte qu'il existe d'après Bézout $U$ et $V$ tels que $UP+VX^p = 1$. En appliquant à $f$, ça donne $U(f)g + V(f)f^p = \mathop{\rm id}_E$, ce qui doit suffire à conclure.
Concernant ton post-scriptum, la réponse est à mon avis non. La réduction de Dunford ou la réduction selon les sous-espaces caractéristiques, c'est utile dans certaines questions, mais la forme particulière de Jordan, ça ne sert essentiellement jamais dans les exercices proposés aux concours. Et je ne parle même pas du calcul explicite d'une réduite de Jordan, a fortiori, qui est juste un pensum pour occuper de pauvres étudiants de licence en TD. -
Toto.le.zero :On ne peut pas passer aux matrices parce E est de dimension quelconque.
AlexB: J'ai compris comment exploiter ta propriété mais je ne vois pas comment la démontré en dimension quelconque.
comment pourrais-tu montrer que $g^{-1}$ appartient à $Vect(idE, f,..,f^{p-1})$?
Merci de m'avoir répondu si rapidement. -
En effet, j'ai encore raté une occasion de me taire
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Pour montrer que id-u est bijectif, un moyen est d'expliciter son inverse (j'imagine que ce n'est pas comme ça que tu as fait). En fait, l'inverse de id-u s'exprime simplement comme combinaison des puissances de u. Je te laisses trouver sa forme explicite (pense au DL de 1/(1-x) !)
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Mti une magnifique solution Merci.
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Merci Alexb, c'est bon ça me reviens .Il suffit de penser à $1-x^n$ et en plus du même coup, on obtient la réponse à la seconde question
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Bonjour!
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