Algèbre Linéaire

Overgame
Overgame
dans Algèbre
Bonjour, lors de mon examen d'algèbre linéaire, je n'ai pas réussi à terminer une des questions proposées, et je n'y arrive toujours pas.

Comme il n'y a pas de correction disponible à cet examen, que mon professeur est en vacances et que j'aimerais aider ceux qui doivent repasser cet examen, pourriez-vous m'aider à la résoudre ? La voici.

Soit E un K-espace vectoriel (on ne suppose pas que sa dimension soit finie) et f une application linéaire tels que f(E) = f²(E). Prouver que Ker (f) + f(E) = E.

Voila. Dans le cas d'un espace de dimension infinie, je n'ai pas d'idée. J'ai tenté de trouver des idées par des exemples, mais je n'arrive pas à tirer de points communs entre ces exemples.

Merci d'avance.

Réponses

  • Blueberry
    Blueberry
    Erreur de ma part j'ai lu trop vite.
  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Tu dois montrer une égalité entre deux ensembles, ce qui revient à une double inclusion. Ici, une des deux inclusions, celle $\subset$, est évidente, reste donc à prouver $\supset$. On peut le faire par analyse-synthèse : soit $x \in E$, supposons qu'on puisse effectivement écrire $x=y+z$ avec $y \in \mathrm{Ker} \, f$ et $z \in f(E)$, ce qui signifie qu'il existe $z' \in E$ tel que $z=f(z')$. On a donc en appliquant $f(x)=f^2(z')$ (i), et $y=x-f(z')$ (ii), ok ?

    Maintenant il te faut définir $y$ et $z'$ pour qu'il vérifient ces deux égalités et montrer qu'on a bien $x=y+z$ et $y$ et $z$ là où il faut...
  • Longjing
    Longjing
    Bonsoir,

    Je pense qu'il faut aussi démontrer que la somme $\mathrm{Ker} f \oplus f(E)=E$ est directe, non ?
  • christophe c
    christophe c
    Par ses conseils Egoroff cherche à t'apporter ce que j'appelle {\it une aide à l'inspiration}

    En tant que solution "qui sort d'un chapeau" voyons:

    $f(u-f(u))=f(u)-f(f(u))=f(u)-f(u)=0$ car $f$ linéaire et ton hypothèse.

    Donc, franchement: $u=[u-f(u)]+f(u)$ et ce qu'il y a ci-dessus atteste que $[u-f(u)]$ est dans Ker(f) et il est "évident" que f(u) est dans Im(f).

    Ta "peine" à résoudre cet exercice est donc à chercher dans une non-connaissance des définitions:

    * soit tu savais plus que f est linéaire, ou ce que veut dire linéaire

    * soit tu savais pas que $f^2(x)=f(f(x))$ (ça m'étonnerait pas)

    * soit tu n'avais pas à l'esprit ce que sont Im(f) et Ker(f)...

    * soit t'as mis quelques chose devant ta porte qui empèche les muses d'approcher ton apart (peu probable car c'est un exo ne nécéssitant pas (bcp) d'inspiration)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • egoroff
    egoroff
    Salut Longjing,

    Oui ça paraîtrait logique mais est-elle directe dans tous les cas ? En dimension finie c'est clair mais en général je ne sais pas...
  • AlexB
    AlexB
    Attention Christophe, tu as écris f(u)=f^2(u) mais l'hypothèse de l'exercice est f(E)=f^2(E) et non pas f=f^2 (sinon d'ailleurs, f serait un projecteur et l'exercice serait "du cours").

    On a bien une somme directe en dim. finie. En dimension infinie, ce n'est pas le cas (ex : la dérivation dans les polynômes). Par contre, si on ajoute l'hypothèse Ker f=Ker f^2, on a bien une somme directe.
  • egoroff
    egoroff
    Attention Christophe $f^2(E)=f(E)$ ne signifie pas $f^2=f$...

    Pour une solution sortie du chapeau on peut écrire : soit $x \in E$, $f(x) \in f(E)=f^2(E)$ donc il existe $x_0 \in E$ tel que $f^2(x_0)=f(x)$, soit $f(x-f(x_0))=0$, soit $x-f(x_0) \in \mathrm{Ker} \, f$, et la décomposition $x=(x-f(x_0))+f(x_0)$ convient.
  • christophe c
    christophe c
    oups, excusez-moi alors! C'est vrai que je n'ai pas relu l'exercice, j'ai immédiatement préjugé que l'hypothèse était $f^2=f$ (comme quoi le cours marque durant des décennies, puisque c'est exactement à ça que je pensais en fait, aux projecteurs)

    Bah merci pour la solution en espérant qu'overgame passera à nouveau pour la voir

    Pour le côté "somme directe" je ferai le pari que non dans le cas général: en pensant aux shifts et tous ces animaux-là. Mais avant d'écrire une connerie, je vais réfléchir
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • egoroff
    egoroff
    Bien vu AlexB (et cricri aussi car dérivation et shift à gauche c'est kif kif).
  • Aleg
    Aleg
    "avant d'écrire une connerie, je vais réfléchir" : voilà une très bonne nouvelle.
  • christophe c
    christophe c
    {\bf Rajout ultérieur: oups, j'avais pas lu vos posts toutes mes excuses pour ce brouillon...} (et désolé Aleg, j'avais menti (quant à mon intention de réfléchir dans l'intimité solitaire))

    Voyons voir, réfléchissons tout haut:

    pour montrer que la somme n'est pas directe, il suffit de trouver un exemple où certains vecteurs $u,v$ seront tels que

    $f(v)=u$ et $f(u)=0$

    $u$ sera aussi de la forme $f(fw))$, donc "créons" de toutes pièces des $w_n$ ainsi:

    $u=f(w_1)=f(f(w_2))$

    mais comme $f(w_2)=f(f(w_3))$ pour un certain $w_3$

    on peut dire aussi $u=f(f(f(w_3)))$

    etc...

    $u=f^n(w_n)$ pour tout $n>0$ entier

    Bon bah, pourquoi pas?

    Voyons now, $u$ et les $w_n$ comme des lettres formelles, décrétons qu'elles forment une famille libre dans notre futur contre-exemple, et déclarons que:

    $f^p(w_n):=v_{p,n}$ pour $p\leq n$ de manière que $u=v_{n,n}$

    Pour l'instant je ne vois pas trop d'obstacle...

    Il reste à vérifier si cette $f$ définie pour l'instant seulement sur une famille libre "marche" pour toutes les combinaisons linéaires finies...

    En fait, il faut continuer de rajouter des lettres... Et avec les indices ça va devenir un peu pénible à écrire! D'autant que pour chaque combinaison linéaire d'images par $f$ il faudra rajouter un antécédent par $f^2$...

    A aucun moment, par contre, je ne vois de raisons pour que toute cette "rave-party" oblige $u$ à valoir $0$!!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Remarque0
    Remarque0
    Ben ! Tu as parlé du shift ! Le shift à gauche sur $\ell^\infty$ fait l'affaire... :S Idem pour la dérivation sur les polynômes déjà mentionnée, la dérivation sur les fonctions $C^\infty$, la dérivation sur les distributions, tous ces trucs surjectifs avec un noyau non réduit au vecteur nul. A moins que tu ne veuilles un exemple non surjectif ?
  • christophe c
    christophe c
    Bon bah si tu as vérifié les détails je continue pas, j'allais étudier un exemple dans ce genre...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    lol Excellente remarque, Remarque: encore un effet psychologique. Il ne faut pas oublier que l'hypothèse n'est QUE f(fE))=f(E)..

    Dès lors une simple surjection non injective fait l'affaire! (le singe imite l'homme)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Overgame
    Overgame
    Merci beaucoup, je tournais autour du pot depuis un moment, et la preuve va m'aider :)

    Pour le cas de dimension infinie, la somme n'est pas (toujours) directe, comme par exemple sur l'espace des pôlynomes réel et avec l'application qui à un pôlynome lui associe sa dérivée ènième (n>0) : les pôlynomes de degré strictement inférieurs à n se retrouvent dans l'intersection de l'image et du noyau.

    Encore merci :)
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