Théorie de la mesure !

Bonsoir:
J'ai une petite question à vous poser, la voiçi :
Soit : $\ f \in C([0,1],\R) $
On cherche à construire une suite de fonctions en escalier $\ (f_{n})_{n \in \N} $ telle que $\ f $ soit limite uniforme de $\ (f_{n})_{n \in \N} $ lorsque $\ n \longrightarrow +\infty $.
Voiçi la demonstration de mon cours:
Pour $\ n \geq 1 $, on choisit $\ f_{n} $ ainsi:
$\ f_{n}(x) = f(\frac{i}{n}) $, si $\ x \in [\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}[ $ ,$\ i \in \{0,...,n-1\} $. Pour bien definir $\ f_{n} $ sur tout $\ [0,1]$ , on prend aussi, $\ f_{n}(1)=f(1) $.
$\ f_{n} $ est bien en escalier.
Puisque : $\ f \in C([0,1],\R) $ alors : $\ f $ est uniformement continue.
Par conséquent : $\ f_{n} $ converge uniformement vers $\ f $ quant : $\ n \longrightarrow +\infty $.
Plus précisement:
$\ || f_{n}-f ||_{u} = max \{ |f_{n}(x)-f(x)| $,$\ x \in [0,1] \} \leq max \{ |f(x)-f(y)| $,$\ x,y \in [0,1] $,$\ |x-y| \leq \frac{1}{n} \} \longrightarrow 0 \} $ quant : $\ n \longrightarrow +\infty $.
Question:
Pouvez vous m'expliquer ce qui suit :
"Plus précisement:
$\ || f_{n}-f ||_{u} = max \{ |f_{n}(x)-f(x)| $,$\ x \in [0,1] \} \les max \{ |f(x)-f(y)| $,$\ x,y \in [0,1] $,$\ |x-y| \leq \frac{1}{n} \} \longrightarrow 0 \} $ quant : $\ n \longrightarrow +\infty $."
Merçi infiniment !!!