Définition SU(n)

isoz3
isoz3
dans Analyse
Bonjour

J'ai un problème avec la définition de SU(n), Sur internet certains mettent que le déterminant doit être égal à 1 et d'autres la valeur absolue (idem dans les livres que j'ai...).

Quelle est la bonne version? (j'ai tendance à penser que c'est la valeur absolue mais j'aimerais confirmation).

Merci d'avance pour vos interventions

Cordialement

Réponses

  • isoz3
    isoz3
    Ah oui est que pensez-vous des assertions suivantes :

    SL(n) est inclus dans GL(n)

    SO(n) est inclus dans SL(n)

    SO(n) est inclus dans O(n)

    O(n) est inclus dans U(n)

    SU(n) est inclus dans O(n)

    j'aimerais juste une confirmation ou infirmation.

    Merci d'avance.
  • ryo
    ryo
    Pas de valeur absolue pour $SU(n)$ : on a $U(n)=\{M \in M_n(\C)|M^*M=I_n\}$, en particulier le $\det$ d'une telle matrice est de module $1$, il faut bien en enlever pour que $SU(n)$ ait un intérêt

    Pour le 2e message :
    1) Oui c'est même un sous-groupe distingue (noyau du $\det$)
    2) Oui, par définition
    3) Comme 1)
    4) Oui
    5) Non mais flemme de chercher un contre-exemple

    Sauf erreurs...B-)-

    [Corrigé selon ton indication. AD]
  • Guego
    Guego
    Pour trouver un contre-exemple au 5), il suffit de prendre des matrices non réelles, par exemple $\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Pense SU(n) comme un noyau...

    Ca permet de te rappeler que ce sont les matrices de U(n) qu sont de determinant 1! (et non pas de module 1)
  • isoz3
    isoz3
    Bonsoir,

    J'ai un problème car je trouve plusieurs définitions différentes de O(n), U(n), SO(n) et SU(n) sur le web et dans les livres.

    Quelle est votre version de la définition des ces groupes? Je commence à en perdre mon "latin"...

    Merci d'avance pour votre aide
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Les trucs en O, c’est quand on utilise $\R$ comme corps de base (O comme orthogonal), les trucs en U, c’est quand on utilise $\C$ (U comme unitaire).
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Bruno
    Bruno
    Bonsoir isoz.

    Les groupes $O_n$ et $SO_n$ concernent l'espace réel euclidien $\R^n$. Le groupe $O_n$ est le groupe des automorphismes orthogonaux qui sont les automorphismes qui conservent le produit scalaire (mauvaise nomenclature, les automorphismes qui conservent l'orthogonalité sont les similitudes vectorielles) ; le groupe $SO_n$ est le sous-groupe invariant des automorphismes de déterminant $1$.

    Les groupes $U_n$ et $SU_n$ sont les analogues des précédents pour l'espace $\C_n$. A noter que le déterminant d'un automorphisme unitaire est un complexe de module $1$.

    Bruno
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