Une petite astuce merci

Ça sent le caractère de Dirichlet modulo 4.

J'ai peut-être une idée, mais je n'en suis pas sûr.
Posons :
$$S^{+}_{an+b}(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(an+b)^{s}}$$
$$S^{-}_{an+b}(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(an+b)^{s}}$$
$$\eta(s)=S^{-}_{(n+1)^{s}}$$

On a :

$$S^{-}_{2n+1}(a)+S^{+}_{2n+1}(a)=2S^{+}_{4n+1}(a)$$
$$S^{-}_{2n+1}(a)-S^{+}_{2n+1}(a)=-2S^{+}_{4n+3}(a)$$

Soit en ajoutant membre à membre : $$2S^{-}_{2n+1}(a)$$

Si on y ajoute $$-\frac{1}{2^{a}}\eta(a)$$, on obtient :

$$2\frac{\zeta(a)}{4^{a}}+2S^{+}_{4n+1}(a)$$

soit :

$$2\frac{\zeta(a)}{4^{a}}+S^{+}_{2n+1}(a)+S^{-}_{2n+1}(a)$$

Je te laisse vérifier et continuer.

Salut;
$\frac{1}{1^{2p+1}}-\frac{1}{3^{2p+1}}+\frac{1}{5^{2p+1}}-\frac{1}{7^{2p+1}}+...=\frac{\pi^{2p+1}E_p}{2^{2p+2}(2p)!}$

J'aime beaucoup ton avatar Toto !:)

Salut;
effectivement $E_p$ designe le p-ieme nombre d'Euler
ces nombres sont donnés par :
$sech(x)=1-\frac{E_1x^2}{2!}+\frac{E_2x^4}{4!}-\frac{E_3x^6}{6!}+... ; |x|<\frac{\pi}{2}$
$sec(x)=1+\frac{E_1x^2}{2!}+\frac{E_2x^4}{4!}+\frac{E_3x^6}{6!}+... ; |x|<\frac{\pi}{2}$
$E_1=1$
$E_2=5$
$E_3=61$
$E_4=1385$
$E_5=50521$
$E_6=2702765$
$E_7=199360981$
$E_8=19391512145$
$E_9=2404879675441$
$E_{10}=370371188237525$
$E_{11}=69348874393137901$
$E_{12}=15514534163557086905$

Je reformule mon message, merci de détruire le précédent qui fait doublon.

Salut à tous,

Merci bs pour ce lien où on peut lire que Rivoal et Zudilin sont bien arrivé à des résultats similaires à zeta.Sinon Yalcin tu as une petite astuce très simple pour les exposant impairs en partant de la série de Fourier :

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{k}$

en intégrant 2 fois (à justifier) et en utilisant les valeurs connues de zeta(2n) en fonction des nombres de Bernoulli, tu retrouves les bêta2(n+1) et de manière indirecte les nombres d'Euler en fonction des nombres de Bernoulli. Cela suppose que tu connaisses les zeta(2n) sinon regarde :

perso.orange.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/bernoulli.pdf

Qui décrit une méthode complète.

Benoit