extensions transcendantes

Une extension de degré fini est algébrique, la réciproque est fausse (penser à la cloture algébrique de Q formé des nombres algébriques sur Q) donc on ne peut pas caractériser les extensions algébriques par le degré

Je pense bien que tu parles pas du degré d'un polynome

Si on a K un corps et L un corps contenant K, L est une extension (de corps) de K. On peut alors voir L comme un K_espace vectoriel et sa dimension (en tant que K_ev) est le degré de l'extension noté [L:K], elle est finie ou pas

Une formule très importante est la multiplicativité du degré : si on a K, L et M trois corps avec chacun d'eux une extension du précédent, on a [M:K]=[M:L][L:K]


Ensuite si on a K un corps et L une extension de K, on dit qu'un élément x de L est algébrique sur K si il existe un polynome à coefficients dans K qui annule x. Dans le cas contraire, x est dit transcendant (sur K)
L est une extension algébrique de K si tous les éléments de L sont algébriques sur K, c'est la cas par exemple de C qui est algébrique sur R, par contre R n'est pas algébrique sur Q puisque par exemple pi est transcendant sur Q ou encore K[X] est une extension transcendante de K (K corps quelquonque)

Un résultat important est qu'une extension de degré fini est algébrique, la réciproque étant fausse avec le contre-exemple que je t'ai donné

Donc on ne peut pas caractériser les extensions algébriques seulement avec le degré, il en va de meme avec les extensions transcendantes

Mieux?