pavé convexe connexe (définitions)

Utilisateur anonyme · July 2007

Bonsoir,

Je cherche la définition:

d'un pavé
d'un convexe
d'un connexe

Avec eventuellement des exemples et MERCI pour votre aide.

&

ryo · July 2007

Pour la connexité/convexité, va faire un tour sur wikipédia, de plus ce sont deux notions qu'il faut voir sur des dessins et sur le forum ça ne va pas être évident

Aleg · July 2007

salut &,

1) un pavé de R^n est un produit de n intervalles réels bornés. Si ces n intervalles sont tous fermés (resp. ouverts) le pavé est un fermé (resp. un ouvert). Si ces n intervalles sont identiques, le pavé s'appelle un n-cube.

2) la convexité est une notion "géométrique" : une partie convexe d'un espace vectoriel (cette notion n'a de sens que dans un espace vectoriel ou un espace affine) est une partie C telle que, pour tous x,y dans C, l'ensemble des points t.x+(1-t).y lorsque t parcourt l'intervalle [0;1], est contenu dans C.

3) la connexité est une notion topologique : un espace connexe est un espace topologique E dans lequel les seules parties à la fois ouvertes et fermés sont E et l'ensemble vide. De façon équivalente, ça signifie qu'on ne peut pas partitionner E en deux ouverts (ou en deux fermés).

Utilisateur anonyme · July 2007

Merci pour ces réponses!

"un pavé de R^n est un produit de n intervalles réels bornés. ..."

Juste une petite incompréhension:

Om me parle dans un bouquin de (R*+)^3 un pavé de R^3, or R*+ n'est pas borné, ce qui ne convient pas à ce qui est dit !

Merci

Aleg · July 2007

certains auteurs s'autorisent parfois, pour le besoin de leur exposé, à étendre certaines définitions ou à les modifier : ça n'a guère d'importance ici me semble-t-il.
Suivant le contexte un pavé peut aussi être une pièce de viande, un chocolat ou un fromage...

Remarque0 · July 2007

On peut aussi noter qu'un pavé est un convexe connexe de IR^n, mais qu'aucune des implications inverses n'est vraie.

Utilisateur anonyme · July 2007

Merci !

Voudriez-vous me donner des exemples pour:

Un convexe qui n'est pas un pavé (1)
Un connexe qui n'est pas un convexe (2)

Pour le (1) je suppose un intervalle du type ]a,b[ U ]c,d[
Pour le (2) je suppose (R*)^3

Que pensez-vous, c'est juste?

Merci

mt-i · July 2007

Pour (1) je suis d'accord, mais (R*)^3 n'est pas connexe.

Utilisateur anonyme · July 2007

Bonsoir mt-i,

Et R^2\{(x,0)/x<=0} ?

&

mt-i · July 2007

Oui, ça ça marche. Ou R^2\{0}, d'ailleurs.

Utilisateur anonyme · July 2007

Bonjours,

"Pour (1) je suis d'accord, mais (R*)^3 n'est pas connexe."

Je réalise déja pour le (1) comme si ]a,bc,d[ n'est un convexe, il suffit de prendre un point dans ]a,b[ et l'autre dans ]c,d[ !

D'ailleurs je ne vois pas comment R^2\{0} peut être partitionner d'ouverts et de fermés?

Pour R²\{(x,0)/x<=0} = (R*+)xR (ouvert) U (R-)x(R*) (fermé)

Merci
&

ryo · July 2007

R^2\{0} ne peut pas etre partitionné en ouvert, ie il est connexe
Pour le voir très facilement, il faut introduire une notion plus forte : la connexité par arcs (cf wikipedia com d'ab), il est clair qu'on peut toujours tracer un arc entre 2 points de cet ensemble mais ce n'est pas un convexe car on ne peut pas tracer de droite entre par exemple 1 et -1

Idem pour l'ensemble que tu donnes à la fin de ton précédent message

Utilisateur anonyme · July 2007

Merci !

mt-i · July 2007

Argh, bien sûr, une réunion d'intervalles disjoints n'est pas convexe, désolé pour n'avoir pas eu les yeux en face des trous. Bref, comme exemple de convexe qui n'est pas un pavé, il y a par exemple le disque unité de R^2 (ou n'importe quel autre convexe de R^2 qui n'est pas un rectangle à côtés parallèles aux axes, il y a le choix).

Utilisateur anonyme · July 2007

Ah oui!

Merci à vous tous!

&

pavé convexe connexe (définitions)

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion