Propriété des segments emboîtés

Bonjour.

Dans un livre de topologie, je trouve ceci :

Il existe un ensemble R tel que :

1) R corps commutatif
2) R totalement ordonné
3) R archimédien
4) R a la propriété des segments emboîtés, ie : toute suite décroissante [an, bn] de segments a une intersection non vide.

Voici les questions qui se posent à moi :

a) R est-il le seul ensemble qui vérifie ces quatres propriétés ?
b) Q vérifiant les trois premiers, je pense qu'il ne vérifie pas le quatrième. Cependant, à partir de [an,bn], on peut continuer avec a(n+1) = an et b(n+1) = (an+bn)/2. Et je pense qu'ainsi Q vérifie 4). Pouvez-vous donc me dire si Q vérifie 4, pourquoi si oui, ou me donner un contre-exemple sinon.

Merci.