somme des inverses des nombres premiers

dans Analyse
Bonjour,
Si on note $P$ l'ensemble des nombres premiers, quelqu'un aurait l'idée de la démonstration de la divergence de la série $\sum_{p\in P} \frac{1}{p}$ ? J'avais pensé partir de la série de terme général $\frac{1}{n}$ puis écrire $n=q^{2}.c$ où $c$ est sans facteur premier élevé au carré. Mais ensuite je bloque.
Autre question (qui n'a rien a voir): peut-on démontrer qu'il existe un entier naturel $n \geq 1$ tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2n-1}} \cos(\frac{1}{x^{2n}})dx$ soit divergente ? Si tel est le cas ca constituerait un contre-exemple de l'intégration par raport dans le cas où une des deux fonctions est seulement continue et dérivable mais pas de classe $C^1$
Merci d'avance.
Si on note $P$ l'ensemble des nombres premiers, quelqu'un aurait l'idée de la démonstration de la divergence de la série $\sum_{p\in P} \frac{1}{p}$ ? J'avais pensé partir de la série de terme général $\frac{1}{n}$ puis écrire $n=q^{2}.c$ où $c$ est sans facteur premier élevé au carré. Mais ensuite je bloque.
Autre question (qui n'a rien a voir): peut-on démontrer qu'il existe un entier naturel $n \geq 1$ tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2n-1}} \cos(\frac{1}{x^{2n}})dx$ soit divergente ? Si tel est le cas ca constituerait un contre-exemple de l'intégration par raport dans le cas où une des deux fonctions est seulement continue et dérivable mais pas de classe $C^1$
Merci d'avance.

Réponses
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Bonjour Blue,
Je te mets en pièce jointe la preuve de Erdös
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Je te remercie, exactement ce que je cherchais
Sinon bizzare que mon message n'apparaisse pas, mon latex semblait pourtant correct. -
Le latex est en panne (cf. le message de Manu) suite à la panne du forum hier.
Ravi d'avoir pu t'aider -
Merci Mk1844 de proposer ce passionnant document... sans signaler que j'en suis l'auteur (et que je l'ai moi-même posté plusieurs fois sur le forum).
Non, bien entendu, que cette démonstration m'appartienne, mais le travail de construction d'un exercice, sans parler du travail de mise en forme, aurait peut-être mérité d'être reconnu... -
La preuve d'Erdös, de nature combinatoire, mérite, à mon sens, quelques compléments :
1. Elle souligne tout d'abord le génie de son concepteur...
2. Ceci étant dit, il me paraît nécessaire d'en soulever les points forts et les points faibles (travail nécessaire à effectuer, surtout dans le cadre d'un oral) :
2.1. Points forts.
Elle n'utilise que des arguments relativement simples.
Et surtout, elle utilise la célèbre décomposition n = q*m^2 d'un entier, avec q 2-libre, décomposition absolument utilisée dans la quasi-totalité des problèmes de théorie analytique des nombres, ainsi que, plus généralement, la décomposition n = q*m^k où q est k-libre. Erdös a popularisé ce type de raisonnement, et l'on a vu ainsi beaucoup de problème tomber avec diverses décomposition d'un entier (le point d'orgue étant, me semble-t-il, le théorème de Shiu en 1980).
2.2 Point faible.
L'ordre de grandeur de la somme sum_{p <= N} (1/p) n'apparaît pas explicitement dans cette preuve. Il faut un argument analytique à la Euler pour obtenir que cette somme est > lnln(N) - 1, et un peu plus de travail (Mertens) pour montrer que lnln(N) est vraiment son ordre de grandeur (à comparer avec l'ordre de grandeur de la somme sum_{n <= N} 1/n ).
Mais il faut rendre grâce à Erdös pour ça : il a toujours souhaité revenir vers l'arithmétique au sens noble du terme. Ainsi, chacune de ses nombreuses résolution de problèmes difficiles utilisait autant que faire se peut des arguments élémentaires. Cette "obstination" à faire vivre des raisonnements "élémentaires" (c'est-à-dire des raisonnements purs, issus d'un cerveau hors du commun) plutôt que de faire appel à la "grosse artillerie" fournie par l'analyse complexe (certes très efficace, mais pas très jolie), a fini par payer : en 1949, et conjointement (et indépendamment) avec son confrère Selberg, une preuve "élémentaire" du TNP sortait de l'ombre...Mais, cette preuve, seuls des génies pouvaient la trouver !
Borde. -
Bonjour,
je n'ai pas hélàs en ce moment le temps de rédiger (oraux d'ENS- qui ont déjà mal commencés ce matin) mais la preuve donné dans le Cassini Oral X-ENs Analyse 1, semble tout aussi "élémentaire",non?
En fait je voudrais bien savoir ou trouver la preuve de Erdos du TNP et de savoir si elle est abordable?
merci... -
Bonjour,
désolé Aleg, c'est vrai que je l'ai pris sur ce forum (je n'ai pas prétendu en être l'auteur, même si en relisant mon message cela peut prêter à confusion) mais je l'avais gardé sur mon disque car je le trouvais bien fait mais j'ai oublié qui était l'auteur désolé encore.
A l'avenir, je tâcherai de faire plus attention -
La preuve d'Erdös et de Selberg a été revisitée par Daboussi en 1984 dans
http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0565.10037&format=complete,
sans, toutefois, utiliser l'identité de Selberg.
Le niveau de cette preuve est M2.
Borde.
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