construction de C

novice · July 2007

Bonjour, je travaille la construction du corps C. Je munis R*R de deux lois de composition internes, puis je remarque que c'est un corps commutatif.
Puis un peu plus tard, je définis C, l'ensemble des a+ib, avec a, b réels. Seulement, voilà on dit que
l'application allant de R*R dans C
qui à (a,b) associe a+ib est un ismorphisme de corps et donc que conséquence (C,+,.) est un corps commutatif.

ET c'est ce dernier point qui n'est pas clair, j'ai déjà eu ce genre de problème d'ailleurs... en fait je ne sais pas si on a le droit de parler d'isomorphisme de corps avant de montrer que C est un corps. N'est ce pas seulement la bijection qui permet de garder la structure de corps, et ainsi, on pourrait parler d'isomorphisme??
merci beaucoup!

Ben · July 2007

Je crois qu'il faudrait que tu regardes du coté de la construction de C comme quotient de R[X] par (X^2 +1), parce que lorsque tu dis que tu "définis" C comme l'ensemble des a + ib tu ne dis pas ce que c'est que i. La construction par quotient montre directement que c'est un corps. Sinon, on peut faire une construction via les matrices 2x2 de similitude directe.

Le Furet · July 2007

Si. Si tu as une bijection de $E$ dans $F$, avec $E$ muni d'une structure sympathique, tu peux immédiatement définir une loi qui donne la même structure à $F$ en posant, pour $x$ et $y$ appartenant à $F$, $x \cdot y = f \big f^{-1}(x) * f^{-1}(y) \big)$. Ca s'appelle un transport ou transfert de structure.

Bon, sans le LaTeX c'est moyen lisible, mais tu vois l'idée.

J'ajoute que c'est certainement la plus moche des constructions de $\C$, vu que la loi de multiplication y est parachutée.

Il y en a au moins deux autres :
- sous-ensemble des matrices 2*2 de la forme $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix}$ (qui représentent des similitudes, d'où justification géométrique de la multiplication).
- corps de rupture de $X^2 + 1$ sur $\R$ (suivant ton niveau, il y a des moyens plus ou moins élémentaires de le faire, et par conséquent moins ou plus rapides), d'où justification algébrique de la multiplication.

novice · July 2007

si mais je ne passe pas directement à ca, j'utilise j homomorphisme de corps injectif qui à x de R associe (x,0), on a alors R isomorphe à un sous corps de (R*R,+,.). Puis je note (0,1)=i (vient du fait que son produit par lui memme donne (-1,0) et dans mon introduction, je parle de cette volonté de construire un carré = -1).
Je dis alors que tout couple (a,b) peut se noter a+ib (en le détaillant)

novice · July 2007

1) donc comme phi est une bijection de R*R dans C, je peux dire que C est un corps.
Puis, phi étant un homomorphisme, c'est alors un isomorphisme de corps.
C'est bien ca?
(meme si ma construction est moche..je veux bien le croire, mais à une semaine des oraux, tant pis! :S)

2) Ma présentation était donc incorrecte :
Def-Th : On définit C={a+ib, (a,b) ds R*R} alors l'application phi de R*R dans C, qui à (a,b)->a+ib est un isomorphisme de corps
Conséquence : (C,+,.) est un corps commutatif
tout ca ne va pas?

AlexB · July 2007

Non, tu ne peux effectivement pas parler d'isomorphisme de corps avant de savoir que C en est un. Dans un cas tel que celui là on montre que phi est une bijection et on dit qu'elle munit C d'un structure de corps par "transport de structure".

Mais ici ça ne va pas non plus : vu ta construction, C est égal à RxR (c'est juste une autre manière de noter les objets). Comme tu as muni RxR d'une structure de corps, alors C est un corps.

novice · July 2007

A quel moment je dis que R*R est égal à C, par mon application phi, ou je n'en ai pas besoin?
désolée mais là je suis tout d'un coup toute embrouillée...

PB · July 2007

novice a écrit:

C={a+ib, (a,b) ds R*R}

Ceci n'est pas une définition, à moins de dire avant qui sont i et +.
Si tu a commencé par dire que i=(0,1) alors il me semble que a+ib=(a,b).
Donc C={(a,b), (a,b) ds R*R} et donc C=R*R, ce qui est plus court à écrire que ta définition ;-)

GERARD · July 2007

Salut Novice.

"A quel moment je dis que R*R est égal à C ?"

Quand tu veux, c'est toi qui décides. Mais tu dois être conscient que dans une telle construction, tu définis un corps (R*R,+,.) dont une restriction (un sous corps) est isomorphe à R. C'est tout.

Cordialement.

NB : Inutile de montrer que C est isomorphe à C.

novice · July 2007

d'accord et merci. Un dernier détail,il me semble qu'à aucun moment je n'ai le droit de dire que C est égal à R*R, je dois tout le temps dire qu'il est isomorphe, non?
merci

PB · July 2007

Tout dépend de ta définition de C.
Si (comme j'en ai l'impression) ta définition de C est : C=R*R, alors tu as le droit de dire que C est égal à R*R. Tu as aussi le droit de dire que C est isomorphe à R*R car égal implique isomorphe

novice · July 2007

d'accord merci à vous tous! bonne journée

bisam · July 2007

Pour répondre à la question initiale, on peut parler de morphisme de groupes (resp. anneaux, corps, espaces vectoriels, algèbres) dès que l'ensemble de départ possède la bonne structure et la fonction possède les bonnes propriétés... puisque celles-ci ne nécessitent pas la structure à l'arrivée (à part l'existence des lois internes ou externes, bien sûr).
L'ensemble image possède alors la même structure que l'ensemble de départ.
C'est ce qu'on appelle le transport de structure.

C'est bien pratique pour 'fabriquer' de nouveaux objets justement avant de commencer à quotienter.

Le Furet · July 2007

Quel est l'abruti qui a posté un code LaTeX alors qu'on a dit que ça marchait plus ? Ah tiens, c'est moi...

schwartz-gauss · July 2007

Ah bon latex ne marche plus?

pioupiou0 · July 2007

Quand j'ai lu le titre du topic, j'ai cru qu'il s'agissait d'un fil informatique

nicolas.patrois · July 2007

On peut aussi construire $\C$ comme le corps quotient $\frac{\R[X]}{X^2+X+1}$, construction que j’ai eue lors de l’épreuve d’algèbre. Il faut identifier 1 à 1 et X à j. C’est plus rigolo.

Bruno · July 2007

N.P. a écrit :

On peut aussi construire C comme le corps quotient R[X]/(X²+X+1), construction que j’ai eue lors de l’épreuve d’algèbre. Il faut identifier 1 à 1 et X à j. C’est plus rigolo.

Une hésitation, quelle qu'elle soit, est un signe de décrépitude mentale chez les jeunes et de faiblesse physique chez les vieux.
-+- Oscar Wilde -+-

Je ne suis pas vraiment convaincu que l'épreuve d'expos soit l'endroit rêvé pour "faire plus rigolo"

Bruno

nicolas.patrois · July 2007

Bien entendu, on ne doit pas le construire ainsi en terminale, ni même devant un jury de CAPES.
Sinon, on peut le construire basiquement comme un ensemble de couple de réels pour lesquels on définit les deux opérations comme suit : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) et (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ac+bd). C’est celle que j’ai vu en prépa, elle paraît un tirée du chapeau mais marche bien.
Une autre manière est de passer par les matrices 2×2 de réels qui sont la somme d’une matrice diagonale et d’une matrice antisymétrique.

novice · July 2007

Nicolas Patrois, ta méthode (la définition des deux lois que tu donnes) est la meme que la mienne non? ...8-)

nicolas.patrois · July 2007

Oui, seulement je ne cause pas de i a priori, on remarque que tiens, oh comme par hasard, (0,1)×(0,1)=(−1,0). Ça alors.

michael · July 2007

Salut novice,

Si je ne m'abuse, tu avais déjà posé la question l'an passé. Peut-être as-tu gardé le lien de la discussion mais dans le doute, le voilà : <http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,310038,310147>

Je pense que certains interventions pourront t'être bénéfique.

Bien à toi et bon courage pour les oraux.

michaël.

novice · July 2007

effectivement, je perds la tete!!! j'ai bien relu tout ca, jai en fait suivi le plan de ricco45 en gros, qui est la construction surement la plus ennuyeuse, mais celle que je sens le mieux (tu). Merci pour ce ptit rappel Michael, j'en vois tellement passer...bonne soirée à tous

[Michael, avec un "h", stp

. md]

blue_matematics · July 2007

Bonjour,

Concernant la construction de C je suis bien tenté de m'y prendre en quotientant R[X] par (X^2+1). Cependant, je me demandais si il est raisonnable de mettre en pré-requis les résultats suivants : un anneau commutatif quotienté par un idéal est un anneau (pour les lois induites), et un espace vectoriel quotienté par un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel.

Egalement, par les matrice il est assez aisé de démontrer des propriétés comme (e^{it})^n=e^{int}, mais là j'avoue etre un peu en manque d'inspiration en partant de l'ensemble quotient R[X]/(X^2+1)

J'avais aussi une autre question qui reste sans réponse : un anneau non commutatif quotienté par un idéal est-il encorre un anneau ?

Merci d'avance

michael · July 2007

blue_matematics Écrivait:

> Concernant la construction de C je suis bien
> tenté de m'y prendre en quotientant R par (X^2+1).
> Cependant, je me demandais si il est raisonnable
> de mettre en pré-requis les résultats suivants :
> un anneau commutatif quotienté par un idéal est un
> anneau (pour les lois induites), et un espace
> vectoriel quotienté par un sous-espace vectoriel
> est un espace vectoriel.

Salut,

Si tu ne mets pas ces résultats en prérequis, je doute que tu aies le temps de finir ta leçon. De plus, ce n'est pas l'objet de la leçon.
Bref, à mon avis, mets ça en prérequis et soit au point là-dessus en cas de question.

michaël.

construction de C

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