Brownien et t -> 1/t

Ah oui effctivement je n'avais pas du tout pensé à ça, désolé.. je vais réfléchir à une manière de contourner le problème. Comme tu sais que c'est un processus gaussien calculer la covariance des incréments suffit à montrer leur indépendance, as-tu essayé ?

Enfin la démarche à base de fonction de covariance du processus lui-même est quand même plus simple.

Allons-y, en notant $X_t=tB_{1/t}$ et $s<t<u<v$ et en détaillant tout :
\begin{align*}
\mathrm{Cov}(X_t-X_s,X_v-X_u) &= \mathbb{E}( (X_t-X_s)(X_v-X_u) ) \\
&=\mathbb{E}(X_t X_v)+\mathbb{E}(X_s X_u)-\mathbb{E}(X_t X_u)-\mathbb{E}(X_s X_v)\\
&=tv\mathbb{E}(B_{1/t}B_{1/v})+su\mathbb{E}(B_{1/s}B_{1/u})- tu\mathbb{E}(B_{1/t}B_{1/u})-sv\mathbb{E}(B_{1/s}B_{1/v}) \\
&=tv/v+su/u-tu/u-sv/v=t+s-t-s=0
\end{align*}
En utilisant successivement : le fait que $X_t$ est centré, la linéarité de l'espérance, la définition de $X_t$, et surtout la relation $\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\mathbb{E}(B_s B_t)=\min(s,t)$ couplé à $1/v<1/u<1/t<1/s$. Puisque le vecteur $(B_s,B_t,B_u,B_v)$ est gaussien, le vecteur $(X_t-X_s,X_v-X_u)$ l'est aussi (image d'un vecteur gaussien par une application linéaire) donc la nullité de la covariance implique l'indépendance des composantes. Voilà !

Pour les vecteurs gaussiens c'est dommage parce que c'est le cadre où tout se passe bien ! J'essaierai de poster la semaine prochaine un petit pdf que j'avais écrit sur les bases des processus gaussiens, si j'arrive à le retrouver.

Euh je voulais dire que c'était dommage de faire l'impasse sur les vecteurs gaussiens alors que c'est le cas le plus simple ! Pour la fonction de covariance, fastouche : on commence par se donner un processus stochastique $(X_t)_{t \in T}$, on dit qu'il est gaussien si pour tout $n \in \N^*$ et tous $t_1,...,t_n \in T$ le vecteur $(X_{t_1},...,X_{t_n})$ est gaussien, i.e. les lois fini-dimensionnelles du processus sont gaussiennes, et on appelle fonction de covariance la fonction définie sur $T^2$ par $R(s,t)=\mathrm{Cov}(X_s,X_t)$.

Il n'est pas trop dur de voir (enfin faut le dire vite) que cette fonction et la fonction moyenne $M(t)=\mathbb{E}(X_t)$ caractérisent entièrement la loi du processus, c'est-à-dire si deux processus gaussiens ont les même fonctions $R$ et $S$ alors ils ont la même loi, on dit que ce sont des versions l'un de l'autre. Voilà pour l'unicité.

Il est beaucoup plus difficile de voir qu'étant donnée une fonction quelconque $M \, : \, T \to \R$ et une fonction $R \, : \, T^2 \to \R$ symétrique : $R(s,t)=R(t,s)$ et telle que pour tous $t_1,...,t_n \in T$ la matrice symétrique $A$ de coefficients $R(t_i,t_j)$ est positive : $^tYAY \geq 0 \, \forall Y \in \R^n$, {\it il existe forcément un processus gaussien attaché aux fonctions $R$ et $M$} ! Trop fort. Avec ça tu peux construire un paquet de processus gaussiens centrés sur un paquet d'espaces des paramètres :
- le mouvement brownien sur $\R_+$, $R(s,t)=\min(s,t)$, mais aussi, frimons un peu :
- le pont brownien sur $[0,1]$, $R(s,t)=\min(s,t)(1-\max(s,t))$ ;
- le drap brownien sur $\R_+^2$ ou même $\R_+^d$, $R(s,t)=\prod \min(s_i,t_i)$ ;
- un (le ?) processus d'Ornstein-Uhlenbeck stationnaire sur $\R$, $R(s,t)=ae^{-r|t-s|}$ ;
- pour tout $h \in ]0,1[$ un et un seul processus gaussien centré sur $\R_+$, $h$-auto similaire : $(X_{\lambda t})$ et $(\lambda^h X_t)$ ont la même loi, et à accroissements indépendants, dont je n'ai pas la fonction de covariance en tête mais elle se retrouve sans peine ; le MB correspond au cas $h=1/2$.

Après il y a des résultats super chouettes pour un processus gaussien centré, lorsque $T$ est un espace métrique, liant la régularité du processus à celle de $R$, du genre (sauf erreur) :
- le processus est "localement continu en moyenne quadratique" : $\forall t \in T, \, \lim_{s \to t} \mathbb{E}(X_t-X_s)^2=0$, si et seulement si $R$ est continue sur $T^2$ ;
- si $R$ est höldérienne d'exposant $\alpha$ sur $T^2$ pour un certain $\alpha \in ]0,1]$, alors le processus admet une modification presque sûrement continue.

Pour plus de précisions tu peux par exemple voir les explications très claires au début du poly de J.Jacod intitulé {\it Mouvement brownien et calcul stochastique}, disponible sur le web, ou alors les premiers chapitre de {\Continuous Martingales and Brownian Motion} de D.Revuz et M.Yor.

Si je ne dors pas c'est que je suis en train d'apprendre tous ces trucs et ça m'empêche de dormir la nuit tellement c'est beau, et dur aussi. Mais c'est très mal parce que j'ai 50000 trucs à faire demain ! Pour répondre à ta dernière question je suis encore étudiant et pas agrégatif (du moins pas cette année) mais je vais quand même aller traîner aux alentours de St-Maur (pour me reconnaître il faut se mettre à quatre pattes... rassure-toi ça n'a rien d'obscène :-) ). Je n'en dirai pas plus même sous la torture ! Et toi Meuh qui es-tu si ce n'est pas indiscret ?

Bon allez sur ce bonne nuit.

Ah oui il paraît qu'aux states il y a un paquet de scrogneugneus ! Bon ben profite bien de ton stage, et puisque tu ne pourras pas venir à St-Maur je t'enverrai une photo de mes chaussettes pour te consoler.

Petit détail qd même il faut vérifier la continuité du bouzin en 0.