Racines de polynômes et continuité
Bonjour,
Je considère une fonction polynomiale unitaire dont les coefficients sont des fonctions continues, définies sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Je voudrais montrer que les racines de ma fonction polynomiale dépendent continument des coefficients du polynôme sur l'ouvert qui est le complémentaire de l'ensemble des zéros du discriminant. Pour les racines réelles j'y arrive en utilisant des arguments d'extrema mais pour les racines complexes je ne vois pas... Si quelqu'un avait une petite idée.
Merci
Je considère une fonction polynomiale unitaire dont les coefficients sont des fonctions continues, définies sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Je voudrais montrer que les racines de ma fonction polynomiale dépendent continument des coefficients du polynôme sur l'ouvert qui est le complémentaire de l'ensemble des zéros du discriminant. Pour les racines réelles j'y arrive en utilisant des arguments d'extrema mais pour les racines complexes je ne vois pas... Si quelqu'un avait une petite idée.
Merci
Réponses
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Un moyen un peu tordu : introduis la matrice compagnon, puis utilises le théorème de Gershgorin sur les valeurs propres... La continuité persiste même sur les racines multiples.
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Si tu travailles aussi avec les racines complexes, pourquoi ne pas prendre les coefficients complexes et te placer, si $d$ est la dimension de ton polynôme dans ${\Bbb C }^d / S_d $ où $S_d $ est le groupe des permutations sur $d$ objets agissant naturellement. Comme ça, tu inclus aussi le cas de discriminant nul si tu considères la multiplicité des racines. Et, pour prouver la continuité par rapport aux coefficients du polynôme, le théorème de Rouché permet de conclure facilement, d'où l'intérêt de travailler avec $\Bbb C $ plutôt qu'avec $\Bbb R $.
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Il y a une facon "géométrique" de voir cette question, sous l'angle des revêtements :
- On considère un paramètre $\alpha$, qui est un $N$-uplet (ou $N-1$ est le degré fixe des polynômes), qui represente les coefficients. Il existe un polynôme $P (\alpha , \textemdash )$ qui represente en $\alpha = \alpha_0 $ le polynôme $P_{\alpha_0 }$ dont les coefficients sont donnés par les coordonnées du $N$-uplet $\alpha_0 $
- Le parametre $\alpha$ évolue dans $\mathbb{C}^N $, et soit $\mathcal{D}
\subset \mathbb{C}^N $ la variété discriminante, formée des $\alpha$ qui représentent des polynômes à racines multiples. Soit $\Omega = \mathbb{C}^N \setminus \mathcal{D}$ l'ouvert complémentaire. Soit $H \subset \Omega \times \mathbb{C}$ l'hypersurface formée des couples $(\alpha, x)$ tels que $P (\alpha , x ) = 0$; on a donc une projection :
$$ p_{1} |_{H} : \, H \rightarrow \Omega $$
qui à $(\alpha , x)$ associe $\alpha$.
Cette projection est une {\bf{submersion}} de variétés
$\mathbb{C}^{\infty}$ par hypothèse (dans ce cas ça s'appelle un morphisme étale), car les racines sont distinctes. C'est donc {\bf{en particulier}} un revêtement topologique localement trivial ce qui explique qu'on a toujours $N$ sections locales de $ p_{1} |_{H}$ qui permettent de "suivre continument" les racines.
Il ne me semble pas que le fait de considerer des racines complexes posent des problèmes spécifiques au regard du cas ou les racines sont toutes réelles (suivant la remarque de Fréderic Bosio). Les variétés complexes que l'on considère peuvent être considérées comme des variétés réelles en particulier. -
Merci pour toute vos réponses, Bosio Frédéric pourrais-tu développer un peu ton propos car je ne suis qu'en M1 et là c'est un peu rapide pour moi. Ces questions concernant les racines de polynômes apparaissent de façon indirectes dans mon T.E.R.
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