loi densité d'un vecteur

Bonjour

J'ai un petit souci sur le calcul d'une densité d'un vecteur :
Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de taille $n$ et $X_1$ suit la loi uniforme sur $[a;2a]$ avec $a$ positif, on pose $A=\max (X_1,\ldots,X_n)$ et $B= \min (X_1,\ldots,X_n)$.
On cherche la densité du couple $(A,B)$
J'ai trouvé la densité de $A$ qui est $\displaystyle f = \frac{n}{a} . \left(2-\frac{t}{a}\right)^{n-1}$ et celle de $B$ qui est $\displaystyle g= \frac{n}{a} . \left(-1+\frac{t}{a}\right)^{n-1}$
$A$ et $B$ ne sont pas indépendants, je voudrais savoir s'il existe une formule pour calculer la densité de $(A,B)$ connaissant la densité de $A$ et celle de $B$.

Merci d'avance

Réponses

  • Salut,

    Le mieux est de calculer $G(x,y)=\mathbb{P}(A \geq x, B \leq y)$ et d'exprimer la densité du couple à l'aide de dérivées partielles de $G$.
  • J'ai essayé de faire l'exo proposé, je n'y arrive pas non plus..
  • En général pour calculer une densité à deux variables l'idée est de considérer la fonction de répartition à deux variables $F_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X \leq x,Y \leq y)$ et de la dériver par rapport à chaque variable, en effet on voit facilement qu'on a $f_{X,Y}(x,y)=\dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y} F_{X,Y}(x,y)$ en écrivant $\displaystyle F_{X,Y}(x,y)= \int_{ \{u \leq x, v \leq y\} } f_{X,Y}(u,v) \, du \, dv = \int_{v=-\infty}^y \int_{u=-\infty}^x f_{X,Y}(u,v) \, du \, dv$ et en dérivant les membres extrêmes par rapport à $y$ puis à $x$ (par exemple).

    Ici on voit qu'il est bien plus facile de calculer $G(x,y)=\mathbb{P}(A \geq x, B \leq y)$ car ça s'écrit comme une intersection d'évènements indépendants. Reste à relier $G$ à la densité de $(A,B)$, par la même méthode que précédemment on trouve une formule à base de dérivées partielles croisées. Je vous laisse chercher.

    A titre indicatif je trouve pour une loi uniforme sur $[a,b]$ : $f_{A,B}(x,y)=n(n-1) \dfrac{(y-x)^{n-2}}{(b-a)^n} 1_{a \leq x \leq y \leq b}$.
  • Je crois avoir trouver, merci beaucoup , je vais rédiger ma réponse au propre et la recopier ici d'ici demain: je l'ai fait sur un autre intervalle...Mais je distingue plusieurs cas: le cas où $x\leq y$ et $x>y$...
  • En effet, si $x > y$ alors $\mathbb{P}(A \geq x,B \leq y)=0$ car cette évènement est inclus dans $\{A>B\}$ qui est négligeable : le $\min$ ne peut pas être plus grand que le $\max$ !
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