analyse

Bonjour,

Ma question se trouve dans la pièce jointe.
Je vous remercie de me répondre.
Très cordialement.
ELLOUMI

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Réponses

  • je ne comprends pas très bien ta question;
    purrait tu éclaircir un peu stp?
    dans quel contexte te places tu?
  • Comment peut on demontrer cette egalité.
  • Impossible,
    contre exemple n=2, tu as un polynome de degré 1 en X la dessus,
    il y a surement des contraintes sur le $n$, $Y$, ou autres
  • voilà le seul résultat que j'obtiens:

    l'expression que tu proposes vaut : somme(j=1 à n) de (Xj - Yj) la flemme d'exposer la démo)

    comme le dit Cauchy il doit y avoir des contraites sur tes variables!!!

    Sinon c'est faux dans le cas général!!

    amicalement :P
  • Bonjour

    Cf les rudiments sur les polynômes de Lagrange... Sans latex je renonce à plus d'explications..

    Oump.
  • si on considère les polynomes de Lagrange associé aux (Yi) alors cette égalité, résulte de l'écriture de 1 (comme polynome de K(X)) dans la base de Lagrange, je crois...
    en fait la matrice de passage de la base canonique à la base de LAgrange est même une matrice type VAndermonde.

    en espérant ne pas avoir trop dit d'âneries
  • léo , il ne faut pas confondre : Ton polynome de Lagrange n est pas de la forme que Mounir l a donné :
    je rapelle : $\displaystyle L_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-x_i}{x_i-x_j}$ il manque un terme!
  • Je rappelle que $L_i(x)$ forme une base pour l éspace des polynomes et donc n importe quel polynome $P(x)$ peut s ecrit sous la forme $\displaystyle P(x)=\sum_{j=0}^{n}p_{j}L_{j}(x)$ et en particulier $\displaystyle 1=\sum_{j=0}^{n}L_{j}(x)$ d ou le résultat que tu cherche est faux!
  • Bonjour Cauchy,

    J'affirme que cette égalité est vrai. J'ai essayé avec le programme maple (version 9.5) et j'ai trouvé que ce resultat est vrai, mais j'arrive pas à le demontrer (vous pouver le vérifier à la main pour n=2 et 3.

    tres cordialement
    ELLOUMI
  • Cher Mounir,
    Moi je dit des choses assez connus,
    Si tu as $\displaystyle L_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-x_i}{x_i-x_j}$ alors tu aura $\displaystyle P(x)=\sum_{j=0}^{n}p_{j}L_{j}(x)$ et en particulier $\displaystyle 1=\sum_{j=0}^{n}\prod_{i=0,i\neq j}^{n}\frac{X_i-Y_j}{Y_i-Y_j}$(avec tes notations)
    Toi tu dit que tu veut démontrer $\displaystyle 1=\sum_{j=1}^{n}\frac{\prod_{i=1}^{n-1}(X_i-Y_j)}{\prod_{i=1}^{n}(Y_i-Y_j)}$ donc il y a un terme qui manque dans ton numérateur , il faut que le produit va jusqu à $n$,
    tu vois ce que je dit?
  • désolé d'être si direct mais ce que tu dis est faux dans le cas général;
    la plus belle expression que j'ai obtenu en étudiant ton membre de gauche est celle que j'expose plus haut.
    il arrive parfois que l'on repette les mêmes erreurs en informatique...
    pourquoi cherches tu à démontrer cela?
    le meilleur moyen pour te convaincre de la fausseté de tes dires est de traiter le cas n = 1.
    amicalement :P
  • Cher Cauchy,

    Je vous remercie beaucoup pour votre aide. C'est tres gentil de votre part. L'expresion que vous m'avez donné est tres proche de l'expression que vous m'avez donné (voir piece jointe : il i different de j en bas, peut etre bous n'avez pas fait attention au debut) mais j'ai pas compris le passage exactement pour obtenir votre expression. Est ce que vous pouvez m'expliquer ce passage?

    Je vous remercie d'avance,
    Tres cordialement,
    Mounir.
  • Cher Mounir,
    Je ne dis pas de choses nouvelles, c'est la théorie d'interpolation de Lagrange, les $L_i$ (avec mes notations) sont dits polynômes de Lagrange, qui forment une base de l'espace $K[X]$, plus présisement, si on parle analyse numérique et pas géometrie differentielle :
    Le principe dit : Si tu as n points dans $\mathbb{R}^2$ (on les notes $p_i$ ) et tu veux une fonction qui passe par ces $n$ points alors il y a plusieurs méthodes, une de ces méthodes est d'écrire ta fonction sous forme d'un polynôme $p(x)$ et d écrire ton polynôme dans la base $L_i$ (comme j'ai signalé au dessus), vu que $L_i(x_j)=\delta_{ij}$ alors tu peux tirer $\displaystyle L_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-x_i}{x_i-x_j}$, pour plus de détails, va voir n'importe quel livre d'analyse numérique de licence ou deuxième année.
  • Cher Mounir, as-tu fait attention à ce que je t'écris ?
    Je te demande cela car tu n'a pas réagi ...
    Et il me semble que ce que j'écris est très clair et ne demande pas d'aller ouvrir un bouquin pour découvrir les polynômes d'interpolation de Lagrange...
    De plus, l'expression qui, je le rappelle, est :
    (ta gde somme de produits) = somme(j=1 à n) de (Xj - Yj)

    te montre bien que ce que tu énonces est archi-faux dans le cas général !!!
    J'attends d'éventuelles réactions.
    Amicalement

    PS : la flemme de rédiger la démo sans LATEX, que je ne maîtrise pas encore.
    X: -(
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