Une CNS d'imparité

En fait, il me semble difficlile d'eviter d'utiliser des theoremes de densite ou d'approximation (dans le sens difficile). La nullite des integrales donne juste le fait que la fonction est orthogonale (en considerant l'integrale comme un produit scalaire) aux polynomes pairs, puis il faut savoir ce que cela entraine.

Il faut alors des theoreme d'approximation, genre S-W pour dire qu'on peut remplacer le polynome par n'importe quelle fonction paire continue (ou de carre integrable) et conclure alors.

Tu peux aussi montrer que x donne f(x) + f(-x) est orthogonale a tout polynome, mais il faut la aussi unargumenr du meme type pour conclure.

Salut Vg.

Ta démonstration pourrait aboutir pour montrer que f(-1) = -f(1) (ici T=1) sans rien donner : Après 1, tu prends quel nombre ?

Cordialement

Aleg,

Je ne comprends pas comment tu dérives par rapport à ...une constante.
T est fixé au départ de l'exo.

Cordialement

Quitte a prendre -f on peut supposer f positive .

Ensuite on a decompose partie paire et partie impaire .
une fonction est impaire ssi sa partie paire est nulle .

Or ceci est aquis car :
$\displaystyle\int_{-T}^T t^{2n}f(t)dt = 0$ pour tout entier $n$.

ssi $\displaystyle\int_{-T}^T t^{2n}(pf(t))dt = 0$ pour tout entier $n$.

ssi $\displaystyle\int_{0}^T t^{2n}p(f(t))dt = 0$ pour tout entier $n$.

ssi p(f) est nulle (p(f) la partie paire de f

je redigerai plus tard ...

desole pour la precipitation on ne peut pas supposer f positive car f n'est pas de signe constant mais cette piste est peut etre la bonne ,a plus tard

Salut Vg.

Toujours le même problème ([-1,1] n'est pas dénombrable), même si tu fabriques une suite décroissante à partir de 1, rien ne dit que tu arriveras à 0. D'autre part, peux-tu prouver qu'un tel t0 existe ?

Cordialement

Ca suggère un exercice plus "purement calculatoire" d'ailleurs:

Soit $a_1,..a_n$ une suite de nombres dont on suppose que pour tout entier $p$, on a $(a_1-a_2)^p+(a_2-a_3)^p+...(a_{n-1}-a_n)^p=0$.

Quelles sont les conséquences sur les $a_i$. Par exemple, est-ce que ça implique que $a_1=a_2=..=a_n$?

Autre idée: soit $h$ une fonction impaire telle que $\forall x<0: h(x)=f(x)$. Sur l'intervalle $[0,T]$, posons que $f(x)=h(x)+w(x)$ pour tout $x\in [0,T]$

Il restera donc à prouver que $\forall x\in [0,T]: w(x)=0$, sachant que pour tout entier $n:\int _0^T t^{2n} w(t)dt=0$.

oui, c'est bien comme cela que je voyais les choses (mais cela clarifie bien de le formaliser). C'est aussi ce que dit Aleg. D'ailleurs ALeg, je n'ai pas compris comment tu obtiens que \emph{ pour tout entier} $k$ (et pas seulement pour $k$ pair),
$$\int_{-T}^T\,t^k\phi (t)\,dt=0$$

ok, bon je pense pouvoir résumer l'idée intuitive, ensuite, faudra rédiger...

Comme j'ai dit, il suffit de prouver que si pour tout entier $n$,

$\int _0 ^T t^{2n}w(t)dt=0$ alors $w(x)=0$ pour tout $x\in [0,T]$.

On peut supposer $T=1$.

Soit $M$ un nombre choisi de manière que tout le graphe de $w$ soit contenu dans le rectangle délimité par les axes et les droites d'équation $x=T$ et $y=m$.

La continuité de $w$ assure que $w(T)$ ne peut être que nul. En effet, sinon, qu'il soit positif ou négatif, la continuité assurerait que la région où $w(x)$ serait proche de $w(T)$ serait suffisamment étendue pour qu'on puisse la faire l'emporter sur tout le reste dans le calcul de $\int _0 ^T t^{2n}w(t)dt=0$ avec $n$ assez grand, ce qui donnerait une contradiction...

Vous voulez pas m'aider sniiiiiiiiiiif........ je suis entrain de faire du gras bêtement là!

pardon, ceux de $x \to x\sin\frac{1}{x}$

Si on veut à tout prix jouer au naïf et déduire du fait $\int_1^1t^n w(t)\,dt=0$ pour tout $n$ que $w=0$ ($w$ étant la partie paire de $f$), par des arguments \og\ élémentaires\fg, je pense que l'on peut bricoler une approximation polynomiale de la masse de Dirac en un point $t_0$ de l'intervalle à partir des polynômes $(1-t^2)^n$ correctement translatés et mis à l'échelle. Si $P_{n,t_0}$ désigne ces polynômes (que je n'ai pas le courage d'écrire), on doit pouvoir montrer à la main que $0=\int_1^1P_{n,t_0}(t) w(t)\,dt\to w(t_0)$. Bon, c'est lourd mais élémentaire, mon cher Watson.

tssss, je suis pas trop d'accord, qu'ensuite, on demande à un lycéen des temps modernes d'être capable de construire seul les $P_n$... En plus, c'était dit dès le départ (certes, moins explicitement) par Aleg, Le furet, etc... que cette "astuce" illsutrait (dans cet exo) la puissance des outils d'analyse fonctionnelle (en fait, le fait qu'on sache "nous" pourquoi ces polynômes existent)

Mais il semble une obligation "d'honneur" de trouver maintenant un "joli" et simple argument qui fait "exister" ces polynômes aux yeux du post ado de 17,5 ans... non?

Mais ils connaissent les polynômes?

Pour info, j'écris l'idée de remarque, pour les personnes qui ne connaissent pas l'expression {\it masse de dirac}:

Supposons par exemple que le graphe de $w$ soit entièrement dans le carré de côté 1. Soit $a\in ]0,1[$ et $\epsilon, \lambda> 0$ . Montrer qu'il existe un polynôme $P$ avec les propriétés suivantes:

1) pour $x$ entre $0$ et $a-\lambda, P(x)$ est compris entre $0$ et $\epsilon$

2) pour $x$ entre $a-\lambda /2$ et $a+\lambda/2, P(x) $ est compris entre $1-\epsilon$ et $1$.

3) pour $x$ entre $a+\lambda$ et $1, P(x)$ est compris entre $0$ et $\epsilon$

Résultat, l'intégrale de $P(t)w(t)dt$ "ressemblera beaucoup" à $w(a)$, et toute le "reste de la courbe de $w$" sera "écrasé".

Je réponds à vg (message de 18 h 52) :
"je n'ai pas compris comment tu obtiens que pour tout entier $ k$ (et pas seulement pour $ k$ pair), $ \int_{-T}^T\,t^k\phi (t)\,dt=0$."

On a
$$\int_{-T}^T\,(f(t)+f(-t))\,t^{2n}\,dt=\int_{-T}^T\,t^{2n}f(t)\,dt+\int_{-T}^T\,t^{2n}f(-t)\,dt$$
La deuxième intégrale du membre de droite étant égale à la première (changement de variable $x=-t$), et celle-ci étant nulle par hypothèse, on obtient bien
$$\int_{-T}^T\,(f(t)+f(-t))\,t^{2n}\,dt=0$$

De même,
$$\int_{-T}^T\,(f(t)+f(-t))\,t^{2n+1}\,dt=\int_{-T}^T\,t^{2n+1}f(t)\,dt+\int_{-T}^T\,t^{2n+1}f(-t)\,dt$$
Or, toujours par le changement de variable $x=-t$,
$$\int_{-T}^T\,t^{2n+1}f(-t)\,dt=\int_{-T}^T\,(-x)^{2n+1}f(x)\,dx=-\int_{-T}^T\,t^{2n+1}f(t)\,dt$$
donc on a bien aussi
$$\int_{-T}^T\,(f(t)+f(-t))\,t^{2n+1}\,dt=0$$

D'où évidemment : $ \int_{-T}^T\,t^k\,(f(t)+f(-t))\,dt=0$ pour tout entier $k$.

à partir de là, et pour donner un peu mon opinion par rapport aux interventions qui se sont succédées sur ce point, on en revient toujours au même argument de densité :
il s'agit de montrer qu'il existe une suite de fonctions $(g_n)$ qui converge uniformément vers la fonction définie par $\phi (t)=f(t)+f(-t)$ sur $[-T;T]$ et telle que $ \int_{-T}^T\,t^k\,g_n(t)\,dt=0$ pour tous $k$ et $n$.

Je pense que, ni dans l'esprit ni dans la lettre de cet exercice d'oral, on n'exige une construction explicite d'une telle suite (il y a d'ailleurs plusieurs choix possibles).

Ce serait d'ailleurs assez malvenu, puisque, fort heureusement, la plupart des théorèmes de densité en analyse ne reposent pas sur des constructions explicites des suites censées converger vers les objets étudiés.
Mais ça ne signifie pas non plus que ces constructions ne soient pas intrinséquement intéressantes.

Pour enfoncer le clou sur le fait que la densité des polynômes ne donne pas tout:

{\bf Admettons purement et simplement que toute fonction soit limite uniforme de polynômes!}

Soit $\epsilon>0$. Le fait d'avoir un polynôme proche de $w$ (différence majorée par $\epsilon$ pour tout $x$) ne donnera au mieux que $\int _0 ^1 t^n P(t)dt$ compris entre $-\epsilon $ et $\epsilon$. Pour parvenir à en déduire que $P=0$, il y a une promenade épique à réussir.

La {\it masse de Dirac} sortie de la copulation de "remarque" avec les muses est d'une autre nature, et elle est presque adaptée "spécialement" à l'exercice... Finalement, je ne pense pas que quelqu'un proposera une autre démo que celle ci-dessus (avec les polynômes convenables, supposés exister...) ou des variantes. L'énoncé impose "trop" les polynômes avec son "$t^n$"

Bravo, mais oui, je dis que tu viens de réussir cette promenade épique sous nos yeux (je ne pensais pas du tout, au moment où j'ai écrit le post, à parler de $w^2$), et l'argument nécessite une (au moins petite) inspiration. (Ca partouze chez les muses)

Par contre, il subsiste un petit inconvénient {\it de principe}: c'est l'implication (tout à fait vraie, certes) de la nullité de $w$ par le fait que l'intégrale de son carré soit nulle. Ca suggère un exercice (ce coup-ci, j'y vais doucement lol)

Soit $w$ une application continue de $[0,1]$ dans $\C$. On suppose que pour tout entier $n\in \N$ l'intégrale $\int _0 ^1 x^nw(x)dx=0$. Montrer que $w$ est identiquement nulle.

Bon, tu me diras, on sépare les parties imaginaires et les parties réelles, et tu auras raison: grrr, pourtant, ce procédé de passer par l'intégrale du carré nulle qui implique le caractère identiquement nul de la fonction laisse un arrière-goût de "tricherie" (je ne parle pas de toi, mais de l'argument of course).

D'ailleurs, ça mérite la construction d'un "vrai" exo, bien soigné, que je vais préparer exprès pour qu'on ne puisse plus utiliser cet argument! A suivre, donc...

On a droit à Stone-Weierstrass cette fois-ci ?

Bon alors c'est non par Stone-Weierstrass, maintenant il faut voir comment s'en passer...