théoreme fondamental de l'écriture polynomiale

novice
novice
dans Algèbre
Bonjour, je veux montrer le théorème fondamental de l'écriture polynomiale qui dit qu'une fonction polynome est nulle si et seulement si ses coefficients sont nuls.
Première question : je dois bien utiliser une récurrence forte?

Deuxième question : dans le livre de Dany-Jack Mercier, il suppose P(n) démontrée jusqu'au rang n, et il dit soit $f(x)=a_n x^n +......+ a_1 x+a_0=0$ identiquement nulle, il s'agit de montrer que tous les coefficients sont nuls. Mais il ne faudrait pas choisir une fonction polynomiale de degré n+1?

merci..

Réponses

  • Bruno
    Bruno
    Premièrement, ce théorème est faux sur les corps finis : $X(X+1)$ définir la fonction nulle sur $\mathbb F_2$.

    Donc question : dans quel cadre veux-tu le démontrer ? Corps, Anneaux ??

    Bruno
  • novice
    novice
    de K dans K avec K = R ou C, ca ira?
  • novice
    novice
    je rajoute une question, pensez vous qu'il est préférable de ne parler que des fonctions polynomiales dans R, de facon à ne pas s'aventurer dans des questions trop algébristes de la part du jury.
    Ainsi, je garderai en réserve le fait que dans C, toute fonction polynomiale admet exactement n racines, C est algébriquement clos, etc...
    merci
  • Bruno
    Bruno
    Dans tout corps {\it infini}, l'identité formelle et l'identité numérique coïncide. Je ne comprends cependant pas cette histoire de récurrence ; si :$$\forall\,x \in \R \quad P(x) = 0$$le polynôme $P(X)$ n'a pas de degré, il est donc nul.

    Je ne trouve pas l'exposé que tu prépares dans la liste annexée au rapport 2006. Je oense donc que cet exposé ne devrait pas sortir à l'oral de cette année. Enfin, les polynômes formels ne sont pas, a priori, au programme de l'oral ; je n'irai donc pas m'aventurer là dedans tout seul.

    Bruno
  • novice
    novice
    c'est la lecon 69 qui est bien dans la liste des exposés... en fait, je définis le degré après.
    Du coup je repose mes questions :
    1) est-il préférable de ne considérer que les coefficients réels?
    2) est ce une récurrence forte à appliquer?
    3)ayant supposée la propriété jusqu'au rang n, ne dois je pas considérer un polynome de degré n+1 et démontrer que ses coefficients sont nuls, plutot que de prendre un polynome de degré n comme l'a fait Dany-Jack Mercier...

    Bruno, désolée je ne comprends pas ce que tu me demandes :S
  • Bruno
    Bruno
    Exact, cela m'avait échappé.

    Donc "Fonction polynôme" et pas "Polynômes". Il s'agit donc de l'étude des fonctions de $\R$ dans lui-même définies par un polynôme. Je ne vois vraiment pas pourquoi tu veux loger une "récurrence forte" dans cette démonstration.

    1°) Faire une récurrence sur le degré sans avoir défini ce qu'est le degré de la fonction... Cela s'appelle un bon français un paralogisme et c'est hyper mal vu au capes.

    2°) La propriété est vraie pour une fonction de degré $0$. cela passe tout seul au degré $n+1$ : si $f(x)$ est identiquement nulle, alors $f(0) = 0$ donc $f(x) = x\big(f_1(x)\big)$ etc.

    3°) Quelle question ai-je posé en dehors du cadre algébrique ? Tu y as répondu.

    Bruno
  • novice
    novice
    Tu dis donc les fonctions polynomes de $\R$ dans $\R$, on est d'accord que c'est un choix, elles existent aussi de $\C$ dans $\C$, non?

    Ensuite, je n'aurais pas parlé de degré mais étant donnée que c'est une récurrence sur $\N$, j'aurais donc vérifié pour $n=0$ puis supposée la proposition vraie au rang n, et démontrer au rang suivant, j'aurais donc supposé, que $f(x)=a_{n+1}x^{n+1}+....a_0=0$ et tenté de montrer que tous les coefficients de cette fonction sont nuls.
    Remarque : dans son livre il dit que "l'on suppose démontrée la proposition JUSQU'AU rang n...
    Dany-Jack présente alors trois méthodes différentes : utilisation de la fonction dérivée, solution purement algébrique en considérant $2^n f(x)-f(2x)$ puis la utilisation de la continuité.

    je ne comprends pas ta méthode Bruno...
  • rainboo
    rainboo
    Hummm, sauf qu'en l'occurence, ça n'est pas sur le degré de la fonction polynomiale que se fait la récurrence, le polynôme nul n'ayant pas de degré (ou le degré moins l'infini si on veut).

    La récurrence détaillée par Bruno est juste, mais pas sur le degré. Le rang $n$ de la proposition correspond au $n$ de la propriété (ou définition) suivante :
    Une fonction $f$ de $\K$ dans $\K$ est polynomiale si et seulement si il existe un entier naturel $n$ et $a_0, a_1, ..., a_n$ éléments de $\K$ tels que $\forall x \in \K, f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0$.
  • novice
    novice
    je suis d'accord rainboo, mais donc ai-je raison, au rang n+1, le coeff devient donc n+1?
    non désolée, j'ai l'impression de pas saisir ce que vous voulez me dire...
  • rainboo
    rainboo
    Tout à fait. On en déduit ensuite que $a_0$ est nul puisque $f(0) = 0$.

    On factorise par $x$ pour tout $x \in \K-\{0\}$, et on en déduit que : $\forall x \in \K-\{0\}, a_{n+1} x^n + a_{n} x^{n-1} + ... + a_1 = 0$.

    Bon là, on a presque à faire à une fonction polynomiale, faut juste lui donner la bonne valeur pour $x = 0$, et finalement, on utilise la propriété de récurrence.
  • Bruno
    Bruno
    Quand j'étais petit garçon, on m'a appris que $ax^py^q$ était une fonction monôme de degré total $p+q$, de degré partiel $p$ en $x$, $q$ en $y$ et $0$ en $z$. Le degré de la fonction polynôme est celui de son monôme de plus haut degré et les fonctions polynômes constantes sont de degré nul.

    Il ne s'agit pas de polynômes mais de fonctions réelles à valeurs réelles. Novice, si tu as vraiment envie de t'embarquer sur les fonctions complexes de variables complexes, libre à toi. Si en plus tu veux y mettre des dérivées fais-le.

    Bruno
  • rainboo
    rainboo
    Ben moi quand j'étais petit, on m'a appris que le degré du polynôme, c'était celui du monôme de plus haut degré, pour peu que celui-ci ait un coefficient non nul :)
  • novice
    novice
    D'accord, merci beaucoup à vous deux, j'ai enfin compris :)
    Non, non Bruno, je ne veux pas parler de $\C$ s'il n'y a pas à en parler, je craignais juste que le jury ne puisse nous le reprocher, mais bon si je fais déjà tout propre de R dans R, je crois que ca sera déjà pas mal...
    Bonne journée
  • J2L2
    J2L2
    S'il existe au moins un coef non nul, on considère celui qui correspond au monôme de plus fort degré Ak.

    Le polynôme est donc équivalent à Ak.x^k pour x tendant à l'infini : il ne peut être nul, donc tous ses coefs sont nuls.
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