Covariance de l'espérance et de l'écart-type

nathan_g · May 2007

Bonjour,

Dans le cadre de mon travail, j'ai obtenue une série de valeurs (x1,x2,...,xn) pour la mesure d'un paramètres. Ces valeurs sont la réalisation d'une variable aléatoire X de moyenne mu et d'écart-type sigma. La moyenne m et la variance s2 (estimation sans biais) (ecart-type s) de ces paramètres sont ensuite calculés.

Dans la pratique, je suis amené à calculer le paramètre mu + alpha sigma (alpha est une constante connue). Son estimation sans biais est m + alpha s mais je voudrais savoir comment je peux estimer sa variance.

Est-ce qu'il s'agit de s2/n + alpha^2 *variance (s2), qui peut être estimé ? ou est-ce plus complexe ? En l'occurence, quelle est la covariance entre une moyenne et une variance d'une grandeur aléatoire ? Est-elle toujours nulle ? Sinon sous quelles conditions ?

Merci d'avance de votre aide !

GERARD · May 2007

Bonjour.

Il semble intuitivement évident que m et s ne sont pas indépendants. Pour revenir à des variables indépendantes, il faut écrire m + alpha s à l'aides des Xi. Cela semble des plus compliqué.

"quelle est la covariance entre une moyenne et une variance d'une grandeur aléatoire ?" Ecrite comme ça, la phrase n'a pas de sens car ce sont des valeurs fixes, pas aléatoires (la variable est aléatoire, pas sa moyenne). Ce qui serait nécessaire, c'est le calcul de la covariance entre la VA m ="moyenne de l'échantillon" et la VA s ="estimateur de la variance de la population à partir de l'échantillon". Et de plus, s est biaisé !

Peux-tu nous donner le contexte, il y a peut-être une autre voie.

Cordialement

nathan_g · May 2007

Effectivement, il y avait bien une erreur dans ce que j'ai écrit. Les moyennes et cart-type sont évidemment des grandeurs fixes, sans que l'on puisse parler de covariances entre elles.

Ce que je cherchais à déterminer était la covariance entre l'estimation de la moyenne, m, et celle de l'écart-type, s (racine de s2).

En pratique, je travaille actuellement sur l'application des lois extrêmes de Gumbel. On a ainsi un ensemble de variables extrêmes mesurées sur de petits intervalles de temps t ou de petite aire a.

Si l'on considère que ces variables extrêmes sont distribuées selon la loi de Gumbel (hypothèse ardie car si il y a bien convergence en loi vers Gumbel, il n'y pas de certitude que l'on soit suffisamment proche de cette loi !), il est possible de remonter à la valeur de la valeur extrême sur une durée plus longue ou une aire plus importante. Sa valeur moyenne devrait être égale à une fonction linéaire de mu et sigma, qui peut être estimée en remplaçant mu par son estimation m et sigma par son estimation s.

Ce que je recherche maintenant c'est l'imprécision que l'on a sur cette fonction linéaire. Je connais les variances estimées de mu et de sigma, mais pas leur covariance. Est-ce qu'il est possible, et sous quelle condition de la prendre égale à 0. Dans le cas contraire, y a t-il un moyen de l'estimer sans biais ?

Kuja · May 2007

Bonjour,

à nombre de valeurs observées n fixé, il n'y a pas d'expression générale pour la covariance (de même que pour la variance de l'estimateur de l'écart-type tout seul). En revanche, on possède des résultats asymptotiques, à savoir quand n tend vers l'infini. Est-ce que cela te suffirait ?
Sinon, je ne vois pas comment faire, mise à part une technique de validation croisée par exemple pour estimer cette covariance. On aurait donc une estimation plutôt qu'une valeur exacte mais asymptotique avec la méthode précédente. Je ne sais pas du tout quelle est la meilleure option. Ceci dit tu peux faire les deux ...

Amicalement,

nathan_g · May 2007

Bonjour,

Je serais effectivement intéressé par ces formules asymptotiques pour la covariance de l'estimation sans biais de la moyenne et de l'écart-type, ainsi que pour la variance de l'écart-type (avec les références nécessaires).

Concernant la variance de l'écart-type, effectivement je n'ai pas trouvé de formule. J'en possède une pour la variance de la variance et j'en ai pris la racine carré pour estimer la variance de l'écart-type, mais c'est très certainement incorrect.

En tout cas, merci de votre aide et de toute référence que vous auriez dans l'estimation de l'incertitude commise par la méthode de Gumbel.

Cordialement,

Nathan_g

Carole9 · September 2007

Bonjour,
Voici mon problème:
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi N(m;S²)
Je cherche à calculer E[XS].
Qu'en pensez-vous?
Je vous remercie d'avance.

Cordialement,
Carole

egoroff · September 2007

Et S c'est quoi ?

FlawlessBoy · September 2007

S est une variable aléatoire !? parce que sinon $\mathbb{E}[XS] = S\mathbb{E}[X] = mS$

FlawlessBoy · September 2007

lOl comment on est trop synchro Egoroff

egoroff · September 2007

Clair mec B-)-

Si $S$ est une v.a. je pense qu'il faut comprendre que conditionnellement à $S$ la loi de $X$ est $N(m,S^2)$, du coup sauf erreur $$\mathbb{E}(XS)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(XS|S))=\mathbb{E}(S\mathbb{E}(X|S))=m \mathbb{E}(S)$$

FlawlessBoy · September 2007

je suis d'accord...mais je m'incline, j'y aurais jamais pensé

Carole9 · September 2007

merci a tous.
En fait je cherche à calculer le coefficient de corrélation entre X et S.
J'utilise la formule suivante:
cor(X;S)=cov(X;S)/racine(var(X)var(S))
et cov(X;S)=E[XS]-E[X]E

Si j'utilise ta formule j'obtiens cov(X;S)=mE-mE=0
du coup mon coefficient de corrélation est nul.
qu'en pensez-vous?
Merci

FlawlessBoy · September 2007

et bien l'explication d'Egoroff supposait qu'on avait $X | S \sim \mathcal{N}(m,S^2)$, et ainsi ton calcul est juste...mais dans le tout 1er énoncé que tu avais donné, ce n'était pas si clair que ça...

bonSamaritain · May 2011

Bonjour à tous!

Je complète de fil de discussion pour livrer un estimateur non biaisé de la covariance q² à deux variables aléatoires X et Y.

Je pose tout d'abord :

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2 Cov(X,Y) soit : $Cov(X,Y)=\frac{Var(X+Y)-Var(X)-Var(Y)}{2}$

Puis je me sers des estimateurs non biaisés de la variance s² dans l'équation précédente et j'obtiens :

q²=\frac{s²(X+Y)-s²(X)-s²(Y)}{2}$

En développant judicieusement la somme de s²(X+Y), ça me permet d'éliminer s²(X) et s²(Y) ainsi que le dénominateur 2. Et finalement, j'obtiens bien que E(q²)=Cov(X,Y).

q² est donc un estimateur sans biais de la covariance.

Là où je m'interroge encore, c'est de savoir si E(q²/s(X)sY)) est un estimateur sans biais du coefficient de corrélation???

Covariance de l'espérance et de l'écart-type

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Bonjour!

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