parabole et égalité

Bonjour!!!

voila un problème qu'une collègue m'a posé:

Soit $P$ une parabole d'équation $y=\frac{1}{2p}x^2$. Soit une droite passant par le foyer qui la coupe en $M$ et $N$. Montrez que $\frac{1}{FM}+\frac{1}{FN}=\frac{2}{p}$.

On a résolu ce probleme, simplement en utilisant l'équation de la droite dans un repère orthonormé, les coordonnées des points etc... bref: beaucoup de calculs. Je me demande donc, s'il n'y a pas un moyen plus élégant pour établir cette équation?!

Merci à vous!!!!

Kushi