Développements Connexité

Tiens, un autre yop !

Il y a le dévoppement ultime. Mais je ne me souviens pas bien de l'énoncé ni des références ! Il s'agit de montrer que pour toute fonction $g$ (continue de $\R$ dans $\R$ ?) et toute fonction $p$ (de classe $C^1$ et périodique ?) il existe une fonction $y$ (de classe $C^1$) telle que $y'+p\circ y=g$.

L'idée est d'étudier l'application qui à $y$ associe $y'+p\circ y$ (avec les bons espaces au départ et à l'arrivé) et de vérifier qu'elle est surjective (là c'est pas un scoop...). On le fait en montrant que l'image est ouverte (par le théorème d'inversion locale en dimension infinie) et fermée (par des arguments de compacité genre Ascoli) et est donc l'espace tout entier (par connexité).

Une référence : Alinhac-Gérard (ainsi qu'un bouquin spécial agreg récent, de Gonnord et Tosel ??).

Sinon il y a des choses plus basiques, genre le fait que $SO(3)$ ou un autre groupe dont je tairais le nom est simple (il est simple $SO(3)$ ?!). Mais je n'ai plus trop idée de la preuve. Ca se trouve dans un bouquin classique d'agreg (dont j'ai oublié le nom !).

Comme quoi préparer l'agreg ça sert, après on a en tête pleins de souvenirs de références sans avoir les références elles-mêmes...

Sinon dans l'un des Pommerenke il y a une preuve du théorème de Jordan via le lemme de Janiszewski, lui-même prouvé par de l'analyse complexe (théorème de l'application conforme de Riemann). Comme application de Jordan on peut évoquer le théorème de Poincaré-Bendixon. Cela dit c'est un poil chaud... (techniquement on peut faire tenir Janiszewski en 15 minutes mais faut pas être em* par le Jury...). Bref quel est le niveau des développements que tu cherches Mic ?

Pour cette leçon il y a deux développement sympa :

Simplicité de $S0_3(\R)$ grâce à sa connexité.
Tu admets dans ce développement deux points :
\begin{enumerate}
\item Pour toute matrice $M$ de $SO_3(\R)$ il existe $\theta_$ tel que $M$ soit semblable à la matrice:
$$I(\theta_M) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0& 1
\end{pmatrix}$$
\item Le centre de $SO_3(\R)$ est réduit à $I_3$ (tu peux le voir comme une conséquence du point précédent).
\end{enumerate}
Schématiquement : tu commences par montrer que dans $S0_3(\R)$ deux matrices sont conjuguées si et seulement si elles ont la même trace. Ensuite tu considères un sous-groupe $H$ distingué non-réduit à l'élément neutre. Tu prends donc $R$ une matrice dans $H$ différente de l'identité et tu considères l'application :
\begin{eqnarray*}
\varphi: SO_3(\R) &\longrightarrow& [-1,3]\\
M &\longmapsto& Tr([R,M])
\end{eqnarray*}

Où $[R,M]$ désigne le commutant de $R$ et $M$. Remarque que ce commutant est toujours dans $H$ car ce dernier est distingué et que $R$ lui appartient.\vspace{2mm}

L'application est continue, son image est donc connexe et donc un intervalle. Cet intervalle ne peut pas être réduit à $3$ sinon toutes les matrices sont semblables à l'identité d'après le lemme préliminaire.
Tu en déduis que si $\theta$ est suffisamment petit (disons plus petit qu'un certain $\epsilon >0$) la matrice $I(\theta)$ est dans $H$ (et donc tous ses conjugués aussi).
Ben là tu as fini, pour une matrice $I(\alpha)$ donnée, tu prends $p$ assez grand pour que $I(\frac{\alpha}{p})$ soit dans $H$, mais alors $I(\alpha) = (I(\frac{\alpha}{p}))^p$ aussi.

Seul souci : je n'ai pas de réf pour ce développement (je l'avais juste fait en spé). Par contre il se retient bien et moi il avait bien plu au jury.
\vspace{3mm}

Autre développement utilisant la connexité possible : toute matrice de $GL_n(\C)$ s'écrit comme l'exponentielle d'un polynôme en elle-même. Là par contre j'ai une référence : le bouquin d'Analyse Complexe d'Amar-Matheron ; évite par contre de te placer dans le cadre abstrait des algèbres de Banach : pour une matrice fixée $M$ tu te places dans $\C[M]$ qui vérifie bien les hypothèses voulues.

Ces deux développements se recasent ailleurs, notamment le deuxième qui fait un truc original pour l'inversion locale (crucial dedans).

Voilà !
++
--
Ayman

bonjour,

Ayman parle du comutant de R et M ( qu'il note [R,M] ).

De quoi s'agit-il ?

Moi j'aurais fait le comptage des composantes connexes de O(p,q) (le groupe orthogonal de la forme quadratique de signature (p,q)). Et aussi le théorème de Sarkovski (qui est, quand on y pense bien, un truc remarquable qui se démontre à coup de théorème des valeurs intermédiaires !).
Pour la simplicité de SO3, à mon avis, c'est vu et revu à l'oral de l'agreg, mais mieux vaut faire un truc classique et bien qu'un truc original et brouillon.

Khaled: Je crois que j'ai dit une bêtise, on parle de commutateur dans ce cas là. Dans un groupe $G$ le commutateur de $a$ et $b$, c'est le produit:
$$[a,b] = aba^{-1}b^{-1}$$
Pourquoi le commutateur? Parce que la nullité de ce crochet équivaut à la commutativité de $a$ et $b$. On appelle groupe dérivé (noté $D(G)$) le groupe engendré par les commutateur, il est distingué et lorsque l'on quotiente $G$ par $D(G)$ on obtient un groupe commutatif: on a "commuté" $G$.

Le commutant d'un élément c'est autre chose, c'est défini dans un anneau quelconque comme l'ensemble des éléments de l'anneau qui commutent avec l'élément en question (ouh qu'elle est moche cette phrase).

J'espère ne pas avoir d'autres bêtises.

++

--
Ayman

Une remarque sur un autre commutateur traditionnel : dans un anneau c'est généralement $[x,y]=xy-yx$. Moralité, il faut faire attention à bien préciser de quelle notion on parle, en particulier dans un cas où les deux interprétations sont possibles et ne donnent pas vraiment le même résultat.

Merci Ayman de m'avoir répondu.

En fait, si, tu avais déjà été suffisamment précis dans ta première expression, mais j'avais fait une erreur sur la trace que je n'ose pas avouer.

Tout est parfaitement clair maintenant.

Bonjour,
Pour le comptage des composantes connexes de $\mathcal{O}(p,q)$, j'ai un résultat qui permet de conclure:
$$\mathcal{O}(p,q)\simeq \mathcal{O}(p)\times \mathcal{O}(q)\times \mathbb{R}^{d}$$
où $d\in \mathbb{N}$ sans autre indication pour cet entier (dans le Mneimné-Testard).
Par contre la preuve de cet homéomorphisme fait intervenir un théorème sur les sous-groupes pseudo-algébriques (?!).
Je relance pour savoir si quelqu'un (Ben peut-être) a une preuve plus "élémentaire".

Allez voir dans Les matrices, de Denis Serre, c'est fait de façon élémentaire. Et vous aurez une indication sur d.

Merci Ben.

pour t-mouss : en fait, non. J'avais juste voulu généraliser la commutativité du produit à l'intérieur de la trace à un produit de plus de 2 matrices. Faute avouée...