Mouvement Brownien

Bonjour,

la valeur du brownien en t2 dépend bien de celle en t1, mais ce que dit Frédéric c'est que l'écart entre W(t2) et W(t1) de dépend pas de la valeur en t1.
Un exemple simple pour une marche aléatoire :
imagines que tu te déplaces de manière rectiligne. Pour savoir de combien de pas tu avances à chaque fois, tu lances un dé à 6 faces, le résultat qu'il donne t'indique le nombre de pas à effectuer. Evidemment, quand tu lances un dé, le résultat obtenu ne dépend pas de l'endroit où tu te trouves.
Dans ce cas, ta position au bout de 11 lancers par exemple (équivalent de W(t2)) dépend bien sûr de la position que tu avais au bout de 10 lancers (W(t1)). Mais l'écart entre ta position 11 et ta position 10 (W(t2)-W(t1)), qui est le résultat de ton dixième lancer de dé, est indépendant de ta position 10.
Le même principe s'applique au brownien.

Amicalement,

Un mouvement brownien est plus exactement caractérisé par les trois propriétés suivantes :

i - ses accroissements sont indépendants, donc pour tout u>v>t>s on a la v.a. $W_u-W_v$ qui est indépendante de la v.a. $W_t-W_s$.

ii- un accroissement $W_t-W_s$ avec t>s, suit une loi normale centrée de variance t-s.
(ici on voit la dépendance de $W_t$ à $W_s$ dans le sens suivant :

pour que l'espérance de la v.a. $Wt-W_s $soit nulle, il faut que l'espérance de $W_t$ soit égale à $W_s$ presque surement.

iii-les chemins du processus sont continus presque surement

Comrpendre ces trois propriétés est assez simple, montrer qu'un tel processus existe est une autre paire de manche.

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