spectre convexité

Bien cette explication ! Moi j'en étais resté à $\sup \emptyset$ est le plus petit majorant de $\emptyset$, or tous les réels majorent $\emptyset$, donc on pose $\sup \emptyset = -\infty$. Ca marche aussi mais celle de Jean-Yves est mieux.

Et en dimension $2$, si $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right)$, on $g(A):={\rm Max}({\rm Sp}(A)) = a + \vert \, b \, \vert$.

Il suit que pour deux matrices $M$ et $N$ symétriques de dimension $2$, $g(M + N) \leq g(M) + g(N)$, donc en dimension $2$, on peut facilement montrer que $f$ est convexe.

Jean-Yves.

salut,
on a ici des matrices symétriques réelles, f(x) s'esprime comme le rayon spectral de A+xB, je pense qu'il faut aller dans cette voie peut etre.

Je suis en train de me demander si je n'ai pas dit des bêtises dans mon message précédent.

Si $A$ et $B$ ne sont pas symétriques, je considère les matrices
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$.

Si je me suis pas trompé :
$A$ admet la seule valeur propre (réelle) 0, donc $f(0) = 0$ ;
$A + B$ admet la seule valeur propre (réelle) 0, donc $f(1) = 0$ ;
$A + \dfrac{1}{2}B$ admet les valeurs propres 0 (simple) et $\dfrac{3}{2}$ (double), donc $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$.

Ainsi $f$ n'est pas convexe.

Je n'avais pas vu que le problème était en fait posé pour $A$ et $B$ symétriques. Dans ce cas, c'est clair, car si $C$ est symétrique et $\lambda_n(C)$ est sa plus grande valeur propre, on a $\lambda_n(C)=\max_{\|x\|=1}Cx\cdot x$. \`A $x$ fixé, l'application $C\mapsto Cx\cdot x$ est linéaire, donc $\lambda_n$ est un max de formes linéaires, donc convexe. Après on compose par une application affine.