déterminant

Bonjour,

Comment calculez-vous le polynçome caractéristique de la matrice A dont la diagonale est formée de 0, tous les éléments au dessus de la diagonale valent 1 et tous ceux en dessous valent -1 ?
J'ai essayé en travaillant sur les lignes, sur les colonnes, mais ça ne donne rien.
On est en dimension n.
J'ai essayé pour des petites valeurs de n, j'ai l'impression que j'aurais une formule du genre (X+1)^n + ?? mais je ne vois pas comment faire...

Je voudrais savoir aussi autre chose.
Si on a A, B, D trois matrices de Mn(R) telles que B est inversible, D diagonale et soit P polynôme à coefs réels, comment justifie-t-on :
si A=B.D.B^(-1), alors P(A)=B.P(D).B^(-1) ?

[Enoncé corrigé selon tes indications. AD]

Réponses

  • Bonsoir Séverine

    Ton énoncé est mal passé, qu'y a-t-il sur la diagonale et au dessus ?
    Il me semble que cette discussion récente pourrait peut-être t'aider.
    \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,362459,362459#msg-362459}

    Pour ta 2ème question, $A=BDB^{-1}$, que dire de $A^2=BDB^{-1}.BDB^{-1}$ et de $A^n$ et donc d'une combinaison linéaire de telles puissances, c'est à dire de $P(A)$.

    Alain
  • Bonjour,

    merci pour ta réponse ad, je suis allée voir le lien sur le déterminant, j'ai réessayé ce matin, mais je bloque toujours.
    La matrice A est formée de 1 au dessus de la diagonale et de -1 en dessous, et la diagonale est formée de 0.
    D'après le lien, pour le polynome caractéristique, il est de degré 1, alors que dans mo exemple, je pense qu'il est de degré n. Enfin, j'ai essayé de faire de soustraire chaque ligne à la première, et d'autres choses aussi, mais ça ne marche pas.
    Je n'avais pas pensé à justifier le passage des polynomes aux matrices comme ça, merci.
    Séverine
  • Bonjour,

    Si on appelle $P_n(X)$ le polynôme caractéristique de ta matrice d'ordre $n \geq 3$, en développant par rapport à la première colonne, on trouve $P_n(X) = X P_{n-1}(X) - Q_{n_1}(X)$ où $Q_{n-1}(X)$ est un déterminant d'ordre n-1. Maintenant, en développant $Q_{n-1}(X)$ par rapport à la première ligne, on trouve $Q_n(X)=-P_{n-2}(X)$, donc on a une formule de récurrence d'ordre 2 pour $P_n(X)$. Il reste à calculer $P_2(X), P_3(X)$ et à en déduire l'expression de $P_n(X)$ (qui est bien de degré $n$ comme tout polynôme caractéristique qui se respecte !) en fonction de $n$ et $X$...

    JYD
  • La réponse est dans le lien indiqué ci-dessus par AD avec $a=0$, $b=1$, $c=-1$.
    On ajoute une indéterminée $X$ à tous les termes de la matrice donnée $A$. On note $P(X)$ le déterminant de cette matrice. En retranchant la 1ère ligne des autres lignes, $X$ ne figure plus qu'à la 1ère ligne donc $P(X)=u\,X+v$ où $u,v\in\Z$.
    Mais si l'on remplace $X$ par $-1$, on a une matrice triangulaire inférieure donc
    $-u+v=(-1)^n$.
    Et si l'on remplace $X$ par $1$, on a une matrice triangulaire supérieure donc
    $u+v=1$.
    Finalement $P(X) = \frac{1-(-1)^n}{2}\,X+\frac{1+(-1)^n}{2}$.
    Le déterminant cherché vaut donc $P(0)=v=\frac{1+(-1)^n}{2}$. Donc
    $\hbox{det}(A)=1$ si $n$ est pair,
    $\hbox{det}(A)=0$ si $n$ est impair,

    Notons que la méthode ne marche pas si l'on travaille avec un corps $K$ de caractéristique $2$ (c-à-d $2\,1_K=0_K$). Mais le résultat est vrai sur $\Q$ donc sur $\Z$~; en utilisant le morphisme canonique de l'anneau $\Z$ dans l'anneau $K$, on en déduit que le résultat est vrai pour tout corps $K$ (et même dans tout anneau commutatif unitaire).

    REMARQUE 1 : la matrice donnée $A$ est antisymétrique donc a priori
    $\hbox{det}(A)=\hbox{det}(-A)=(-1)^n\,\hbox{det}(A)$
    Par suite si $n$ est impair et si $K$ n'est pas de caractéristique $2$, alors on a $\hbox{det}(A)=0$.

    REMARQUE 2 : la même méthode permet de déterminer le polynôme caractéristique de $A$. On trouve $\chi_A=\frac{(-1)^n}{2}\,((X+1)^n+(X-1)^n))$. Du reste dans ce cas on est encore dans le cas de la référence indiquée par AD !
  • C'est vrai : j'ai mal lu l'énoncé !! Je croyais que la matrice comportait des $0$ sur la diagonale, des $1$ sur la diagonale juste au-dessus de la diagonale, des $-1$ juste en-dessous de la diagonale... et des $0$ ailleurs. Dans CE cas-là, le polynôme caractéristique semble plus difficile à calculer. Seuls les résultats suivants sont évidents :
    - $P_n(X)$ est pair si $n$ est pair, impair si $n$ est impair ;
    - $P_n(0)$ vaut $1$ si $n$ est pair, et $0$ si $n$ est impair ;
    - le coefficient en $X^{n-1}$ vaut $0$ ;
    - le coefficient en $X^{n-2}$ vaut $n-1$.

    JYD
  • Le polynôme caractéristique de la matrice $A$ proposée par Séverine est donc (cf ci-avant)
    $ \chi_A=\frac{(-1)^n}{2}\,((X+1)^n+(X-1)^n))$
    Donc $ \chi_A$ admet les $n$ valeurs propres distinctes (donc simples) $-i\,\hbox{cotan}(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})$ où $k\in[\![0,n-1]\!]$.
    $A$ n'est donc pas diagonalisable sur $\R$, mais est diagonalisable sur $\C$
  • Merci beaucoup pour l'aide.
    J'en arrive à la conclusion d'Archimède.
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