nombres pytagoriciens

foukchiminh3
foukchiminh3
dans Analyse
Bonsoir, je cherche une preuve (rapide) de l'existence d'une infinité de solutions de a^2+b^2=c^2, y a-t-il un calcul explicite des solutions.
Merci d'avance !

Réponses

  • Marc
    Marc
    Bonsoir,

    t'as fait une recherche sur le forum ou sur google car c'est classique.
  • pB0
    pB0
    Des solutions : (x,0,x) est une solution pour tout x ;)
  • der
    der
    tu prends un solution ( 3 4 5) est tu la multiplie par tous les nombres entier non divisible par 109 et tu trouve une infinite de solution
  • foukchiminh3
    foukchiminh3
    Bonjour, merci pour vos réponses, j'ai fait une recherche rapide sur le forum, mais je n'ai pas trouvé de preuve pour

    $a=k(m^2-l^2) b=k(m^2+l^2) c= 2kml$
    solutions de $b^2-a^2=c^2$

    notes: le but en fait est de construire une suite de rationnels convergeant vers pi. On prend la suite des polygones à sommets sur le cercle unité et à coordonnées dans Q. Son existence nécessite l'infinité des nombres pythagoriciens et une répartition "uniforme" sur le cercle, il ne faut pas que les rationnels du cercle s'agglutinent auquel cas, la suite ne convergera pas vers $\pi$. c'est pour ça que je regarde les solutions explicites.
  • l.g
    l.g
    le 15 mars, averse a donner la démonstration de la formule des triplets
    pythagoriciens sur ce forum.

    cette formule donne toutes les solutions primitives à l'infini,

    et si en plus, on utilise un facteur k commun à x,y et z tu as tous les multiples

    de plus en refaisant la démo du théorème de pythagore, cela te permet de retrouver cette formule, pour l'infinité des triangles rectangles mesurés par des entiers
    et étant donné qu'il y a une infinité de triangles rectangles
    cette formule les donne tous
  • pB0
    pB0
    l.g a écrit:
    de plus en refaisant la démo du théorème de pythagore, cela te permet de retrouver cette formule, pour l'infinité des triangles rectangles mesurés par des entiers
    et étant donné qu'il y a une infinité de triangles rectangles
    cette formule les donne tous

    C'est peut-être la fatigue de fin de semaine, mais je ne comprends pas :S
  • foukchiminh3
    foukchiminh3
    Note : la question principale est de savoir si la suite des aires des polygones inscrits à sommets rationnels converge vers $\pi$.
    On sait que l'aire d'un triangle à sommets dans $Q^2$ est dans Q. Le tout est de savoir comment se répartissent les points de $Q^2$ qui sont sur le cercle.

    On sait que
    si cos(x) = a/b , alors sin(x) est rationnel ssi $b^2-a^2=c^2$

    J'ai retrouvé la solution de l'équation diophantienne, (merci), et je suis tombé sur une discussion à propos des nombres pythagoriciens et de leur distibution, néanmoins je n'arrive pas à conclure.

    Question 1)
    Les points du cercle C à coordonnées rationnelles sont-ils denses dans le cercle ?

    Dans le cas contraire, peut-on trouver pour tout a et b points rationnels de C, un rationnel c sur l'arc de cercle ab ?

    A l'ad, le sujet s'écarte sans doute de l'arithmétique, je le poste tout de même ici ?

    [Est-ce moi "l'ad" ? Ne méritè-je pas des majuscules ? AD]
    [Prends patience, l'Arithmétique ne rebute pas les participants de ce forum. AD]
  • pB0
    pB0
    Je ne comprends pas toute la question mais je sais que si, pour tout rationnel $t$, on considère la droite $D(t)$ de pente $t$ passant par $(-1,0)$, cette droite rencontre le cercle unité en $(-1,0)$ et en un autre point $M(t)$ (que l'on peut calculer). L'application $M:t\mapsto M(t)$ est une bijection de $\bf Q$ sur le cercle rationnel. On appelle ça une paramétrisation rationnelle du cercle.
  • foukchiminh3
    foukchiminh3
    Comment tu démontres tout ça?
    Est ce qu'on peut dire que la densité de Q dans R, implique celle des rationnels du cercle dans le cercle, avec la bijection.
  • Sylvain
    Sylvain
    Je serais tenté de dire oui, dans la mesure où un cercle privé de l'un de ses points est homéomorphe à $\R$.
  • foukchiminh3
    foukchiminh3
    Je n'arrive pas à comprendre le lien avec l'homéomorphisme...explique s'il te plait.
    On a $(\frac{m^2-l^2}{m^2+l^2},\frac{2ml}{m^2+l^2})$ points rationnels du cercle unité, avec m>l m et l de parité différente.
    Soit $\alpha>0$ Soit (a,b) un point du cercle, il faut déterminer m et l tels que
    $[(a-\frac{m^2-l^2}{m^2+l^2})^2+(b-\frac{2ml}{m^2+l^2})^2]<\epsilon$
  • jacquot
    jacquot
    Salut,

    Nous nous sommes posés cette question de densité dans un topic sur ce forum il y a deux mois.

    Avec , grosso modo, les mêmes considérations.
    je te colle ici un lien vers la page 2 de ce topic

    Re: triplets de Pythagore. Dessin incroyable !!!

    Tu y trouveras peut-être ce qu'il te faut vers la fin de la discussion, avec des croquis en prime.
    Cordialement.
    jacquot
  • foukchiminh3
    foukchiminh3
    Merci pour le lien, j'ai parcouru le topic, mais je n'ai pas réussi à savoir si la densité était démontrée ! Les droites de pente rationnelle donnent toutes les solutions de l'équation diophantienne, mais tu dis "il s'agirait de montrer que les points à coordonnées rationnelles sont denses dans le cercle" je ne vois pas pourquoi ? Peux-tu m'expliquer ?
    La densité de Q dans R, et la paramétrisation rationnelle du cercle :

    "$D(t)$ de pente $t$ passant par $(-1,0)$, cette droite rencontre le cercle unité en $(-1,0)$ et en un autre point $M(t)$ (que l'on peut calculer). L'application $M:t\mapsto M(t)$ est une bijection de $\bf Q$ sur le cercle rationnel"

    n'implique pas la densité des points rationnels du cercle ?
    Il faut étudier leur répartition sur le cercle, mais je ne sais pas le faire.
  • jacquot
    jacquot
    Bon, foukchimhn,

    J'ai pris ton topic en cours de route. Je vais essayer de démontrer que les points à coordonnées rationnelles sont denses sur le cercle unitaire.
    Excuse si je me trompe, la fac c'est très loin pour moi...

    Soient $M_1$ et $M_2$ deux points de ce cercle. Je dois montrer qu'on peut coincer entre ces deux un point à coordonnées rationnelles.
    Soient $\alpha $ et $\beta $ les mesures des angles $\widehat{IOM_1}$ et $\widehat{IOM_2}$, $I$ étant le point de coord(1;0) et O le centre du cercle.
    Soient $t_1 = \tan (\frac{\alpha}{2})$ et $t_2 = \tan (\frac{\beta}{2})$
    $\Q $ étant dense dans $\R $, il existe un rationnel $t$ compris entre $t_1$ et $t_2$.
    Je considère alors le point $M(t)$ de coordonnées $$\left(\frac {1-t^2}{1+t^2}\ ;\ \frac {2t}{1+t^2} \right)$$. Il est à coordonnées rationnelles et il est coincé entre $M_1$ et $M_2$
    Pour mémoire, je te recolle ci-dessous le croquis
    6044
  • chris26
    chris26
    Bonjour.
    Les rationnels de [-1,1] sont denses dans [-1,1], donc leur image par $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ est dense dans l'image de [-1,1] par cette fonction.
  • chris26
    chris26
    Désolé j'ai que les abscisses rationnelles. Je vais faire la sieste.
  • Gecko
    Gecko
    salut
    chris je ne suis pas d'accord avec ce que tu dis:
    la courbe de la fonction $x\mapsto\sqrt{3-x^2}$ ne contient aucun point à coordonnées rationelles, si ton argument etait vrai ca devrait marcher aussi pour cette fonction.
    ce qui fait marcher les choses ici c'est que l'on a une parametrisation du cercle en fonctions rationelles à coeefficents dans Q.
  • chris26
    chris26
    Oui Gecko merci, voir mon second message.
    On a la même chose avec $x^3+y^3=1$ qui ne contient pas de point rationnel non trivial.
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