Capes 2007. 1ère épreuve

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Réponses

  • boule0
    boule0
    Sisbai Écrivait:
    > L'encadrement $1,54<S<1,64$ est faux : $S\approx
    > 1,64449$.
    >
    > La calculatrice fournit $s_{10}\approx 1,549$ et
    > $t_{10}\approx 1,649$
    >
    > On peut alors seulement conclure que $1,54<S<1,65$
    > ce qui n'est pas un encadrement d'amplitude
    > $10^{-1}$.
    > Simplement il suffit de calculer $s_{11}$ et on a
    > $s_{11}\approx 1,558$.
    > On peut alors conclure que $1,55<S<1,65$
    >
    > a+

    Pouique
    La calculatrice fournit $s_{10}\approx 1,549$ et $t_{10}\approx 1,649$

    pourquoi ne pas prendre
    $s_{10}<S<t_{10}$ ?
    vu que $s_{10}-t_{10}=0.1$ donc $n=10$ donne bien une approximation demandée ?
  • Sisbai
    Sisbai
    $s_{10}\approx 1,5497677$ donc la valeur $1,549$ en est une valeur approchée par défaut , inférieur à la valeur exacte.
    Par conséquent $1,649$ est inférieur à la valeur exacte de $t_{10}$. Il se pourrait que $S$ soit entre $1,649$ et la valeur exacte de $t_{10}$ !

    Je tente un petit dessin : en rouge la partie incertaine qui pose problème.
    6028
    s.gif 859B
  • gfgf
    gfgf
    bonjour

    Je ne suis pas d'accord avec toi sisbai...

    On demande un encadrement d'amplitude 0.1 or comme l'a rappeler jerome plus haut on a : $s_10-t_10=10^{-1}$ fournit l'encadrement voulut...

    Apres pour la valeur approchée, on n'impose pas que la différence entre les valeurs approchées soit 0,1.... d'ailleurs rien n'empeche de les mettre sous forme fractionnaire, et la tu constateras que l'amplitude au rang 10 est bien 0.1...

    C'est vrai qu'au debut ca m'a fait douter ton truc, car effectivement je suis d'accord avec toi, sauf que la question concerne les valeurs exactes, et non les valeurs approchées...

    t-mouss
  • Volny DE PASCALE
    Volny DE PASCALE
    Et personne n'a pensé à donner la valeur exacte de $s_{10}$ ? Il suffisait de faire dix produits de neuf facteurs, puis une somme de dix termes, et de simplifier une fraction.
    Avec une calculatrice, ça prenait 5 minutes, et on affichait comme encadrement $\frac{N}{D} < S < \frac{N}{D} + \frac{1}{10}$

    Avec N et D des entiers de 6 à 7 chiffres, de mémoire.

    Ou alors je me trompe ?

    Amicalement
    Volny
  • Sisbai
    Sisbai
    gfgf : l'encadrement $s_{10}\le S \le t_{10}$ est correcte bien sur (je n'ai jamais dit le contraire).

    C'est au moment où on prend des valeurs approchées qu'il faut faire attention.

    La réponse $s_{10}\le S \le t_{10}$ est correcte.
    La réponse $1,54\le S \le 1,64$ est fausse
    La réponse $1,549\le S \le 1,649$ est à justifier

    a+
  • Sisbai
    Sisbai
    En relisant l'énoncé, c'est vrai qu'on demande un encadrement de $S$ d'amplitude $10^{-1}$. Sans autre précision.

    La réponse expéditive la plus simple est bien $s_{10}\le S \le t_{10}$.

    On peut comme tu le proposes Volny DE PASCALE donner les valeurs exactes sous forme fractionnaire.


    Mais si on veut donner un encadrement de $S$ par deux nombres décimaux, là il faut faire attention.

    a+
  • Martialus
    Martialus
    Quelqu'un aurait-il SVP la solution des questions 3 (partie 4), 2a (partie 5), et 1.2.4b (partie 6) de la première composition. Je me suis longtemps cassé la tête dessus, et je n'arrive à trouver les solutions !!!

    Merci d'avance.
  • Marc
    Marc
    Pour la 2a),partie 5 si je me souviens bien tu peux fixer m et faire une récurrence sur N.

    Pour la 1.2.4b),montre que $Li(x)+Li(1-x)$ et $-ln(1-x)ln(x)$ ont même dérivée tu en déduis que $Li(x)+Li(1-x)=-ln(1-x)ln(x)+C$.

    Pour déterminer C,fais tendre x vers 0 dans la relation.
  • Martialus
    Martialus
    Merci, j'avais finalement trouvé pour la partie 6, mais ton conseil pour la question de la cinquième partie m'a aidé à trouver la solution.

    Par contre, j'ai encore essayé de chercher les solutions des questions 3 (partie 4), 1 et 2 (partie 6), mais sans succès. Si quelqu'un a une idée, ou avais trouvé le jour J et s'en rappelle, je suis preneur !!
  • Marc
    Marc
    Pour la question 1) de la partie 6,le problème se situe en 0,mais un équivalent de ln(1-t) règle le problème.

    Pour montrer le prolongement en 1,tu peux montrer que l'intégrale sur [0,1] existe et pour tu peux régler le problème en 1 en disant que ln(1-t)/t y est équivalent à ln(1-t) qui est intégrable. (ca revient à l'intégrabilité de ln(t) en 0 que tu peux justifier en prenant une primitive du ln).

    Pour la question 3 de la partie 4,calcule le nombre dérivé f'(0) en 0(en utilisant ton prolongement),puis l'expression formelle f'(x) de la dérivée ailleurs et montre que quand tu fais tendre x vers 0,f'(x) tend vers f'(0).
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