Optimisation non linéaire

Tipe aie aie aie
Tipe aie aie aie
dans Algèbre
Bonjour,

Dans le cadre des mes TIPE je me suis lancé dans un problème d'optimisation. Après mise en équation de mon problème je suis face au problème suivant :

$t=x_{i_0}+\dfrac{y_{a_0}}{v_1\sin(\theta)} - \dfrac{y_{a_0}\tan(\theta)}{\cos(\beta)v_2}$
$t=\dfrac{K-\dfrac{y_{a_0}\sin(\beta)v_2}{v_1\sin(\theta)}} {v_0-\sin(\beta)v_2}$
J'ai donc :
$t=f(\theta,\beta)$
$t=g(\theta,\beta)$
et je cherche des conditions sur les autres paramètres qui me permettent de rendre $t$ minimum.
J'en ai beaucoup parlé avec mon professeur de mathématiques et n'arrivant pas à obtenir une équation $t = h(\theta,\beta)$ celui ci m'a conseillé de voir le problème comme la recherche des extremum d'une fonction de plusieurs variables par exemple $f(\theta,\beta)$ avec contrainte car $t$ doit aussi vérifier $t = g(\theta,\beta)$.
Cela me conduit à introduire la fonction implicite provenant de
$t = g(\theta,\beta)$ en $\beta= A(t,\theta)$ et à la remplacer dans $f(\theta,\beta)$, puis à dériver et à regarder les extrema.

Bien sur cette méthode est totalement " immonde " et a priori ne me donne que des conditions nécessaires et non suffisantes ( et puis dériver la fonction implicite c'est dur :- ).
Donc après ce petit laïus j'aurais juste voulu savoir s'il existait d'autres méthodes pour résoudre ce genre de problème, si quelqu'un connaissait un chercheur ou un professeur qui serait prêt à m'éclairer, ou même simplement un livre à consulter. J'ai lu des choses sur les multiplicateurs de Lagrange mais c'est assez théorique et comme les concours approchent ...

Toutes remarques, commentaires, cours seraient les bienvenus !
Merci beaucoup

(comme dit AD pour un dollar de trop..)
[Merci à Gecko pour la correction du LaTeX. :) AD]

Réponses

  • jacquot
    jacquot
    Salut,

    Gecko l'avait déjà fait
    C'est ton smiley qui a provoqué le bug: il contient un dollar...
  • jps
    jps
    dans quels intervalles varient tes variables stp ?
  • Tipe aie aie aie
    Tipe aie aie aie
    Les seules variables sont les 2 angles
    et varient toutes deux dans l' intervalle ]-Pi/2,Pi/2[ tout le reste est fixé ( dans le sens ou je voudrai faire la résolution générale avant de donner des valeurs a $v_0,v_1,v_2,x_{i_o},K$


    si tu veux plus d'informations je serai ravi de t'en donner car j'ai envoyé de nombreux mails a des chercheurs et personne ne me répond, pourtant la réalité physique que j'ai modélisé est d'une incroyable banalité. Apres peut etre ai je pris le probleme d un mauvais point de vue mais je n'arrive pas a réaliser avoir autant de mal a résoudre un " truc si simple "( pour la physique derriere : un coureur qui court apres un autre en umpruntant 2 segments de droites a la vitesse v1 et v2 pendant que celui qui s'échappe court en ligne droite a la vitesse v0 les angles donnent les directions, et donc les temps avec les vitesses etc .... ).
    Et bien sur si je linéarise mon étude n a plus aucun sens...


    Comme quoi l'optimisation c'est pas aussi facile que ce qu'on peut croire :-)

    Merci d'avance.
  • Gecko
    Gecko
    salut,
    peut-être que ceci pourrait t'aider:

    http://giik.net/cheminlepluscourt/demonstration.php

    mais j'avoue qu'un schema ca serait pas mal, mis a part ça il y a quelque chose qui m'inquète un peu: en général quand on a un problème d'optimisation il y a UNE fonction à minimiser, ici tu en as 2, a priori il se peut que les minimums sont différents pour les 2 fonctions, ou alors il y a une des tes relations qui est en fait une contrainte à prendre ne compte pour minimiser l'autre.
  • tipe aie aie
    tipe aie aie
    Oui le problème est exactement celui la comme les équations sont trop compliquées je n'arrive pas a écrir eune seule fonction. Et pour prendre en compte la contrainte imposée dans la 2eme relation dans la 1ere mon professeur de maths me dit d'introduire la fonction implicite.

    Au final j'arrive a n'avoir qu'une équation mais c'est une équation terriblement compliquée ou apparait une fonction implicite que je sais dériver mais les calculs sont ... inhumains .

    C'est pour ca que j'aimerai savoir si il n existe pas d autres méthodes pour résoudre ce genre de problemes d'optimisation

    je serai ravi de faire un petit schéma mais quel logiciel utilisé pour pouvoir marquer les angles etc ? :-$.
    Je tappe toute ma mise en équation en LaTeX pour demain ca sera plus simple et plus compréhensible, si tu peux juste m indiquer un logiciel pour faire un schéma j en serai ravi ;-)

    Merci encore
  • tipeee
    tipeee
    $$\left\{ \begin{array}{l}
    y_i=\sin(\theta)v_1t_i \\
    x_i=\dfrac{y_i*\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \\
    \cos(\beta)v_2(t-t_i)=x_f-x_i(t) \\
    v_0t=\sin(\beta)*v_2*(t-t_i)
    \end{array}
    \right.$$
    Donc voilà ma modélisation, et les équations qui en découlent, $t_i$ est le temps mis pour aller jusqu'au point $I$ tous les $V_i$ sont des constantes. $M$ part du point d'ordonnée nulle et court en ligne droite. $A$ lui part du point d'abscisse nulle et d'ordonnée $y_{a_0}$. $V_0$ est la vitesse du coureur qui court le long de l'axe des ordonnées, $V_1, V_2$ sont les vitesses du poursuivant dans les zones $Y< 0$ et $Y>0$


    6008
  • jobherzt
    jobherzt
    juste pour être sûr, en gros tu cherches $(\theta,\beta)$ tels que :
    \[
    \begin{cases}
    f(\theta,\beta)\mbox{ minimal}\\
    g(\theta,\beta)\mbox{ minimal}\\
    f(\theta,\beta)=g(\theta,\beta)
    \end{cases}
    \]
    Si c'est le cas, il me semble que ton problème n'est pas très bien défini, il faut expliciter ce que signifie "f ET g sont minimaux", vu que tu ne trouveras vraisemblablement pas de valeurs tels qu'ils soient tous les 2 réellement minimaux, il faut que tu décide quelle "importance" tu accordes à chacun, bref que tu te ramène à un seul critère à minimiser, par exemple en cherchant à minimiser $f+g$. As-tu essayé de trouver quand $f(\theta,\beta)=g(\theta,\beta)$ ?

    Note, je dis peut-être de la m***, j'avoue avoir lu un peu en diagonale..
  • tipeee0
    tipeee0
    Oui je suis entièrement d'accord avec ce que tu dis, mais pour n'avoir qu'une seule minimisation à faire, j'introduis la fonction implicite qui fournit un angle en fonction de l'autre et du temps et je remplace dans ma 2ème équation.

    Le problème c'est que ça me donne vraiment des calculs de cinglés ( je ne vais pas recopier ça ici, ça fait 5 pages ... ).

    Enfin je n'en sais rien moi mais je trouve ça bizarre qu'un truc si simple donne un système si compliqué.

    Cependant je ne suis pas sûr que ton idée de rechercher le minimum de f+g=2t soit bon, car encore une fois pour travailler par équivalence je dois garder 2 équations, donc minimiser f+g ne suffirait pas, il faudrait minimiser le système

    (F+G,F) par exemple ( enfin moi je dis ça mais je fais des maths depuis 2 ans alors peut-être que c'est n'importe quoi ... :) ?? )
    Parce que si ce que tu me proposes est possible ( cela parait beaucoup plus facile que ce que je m'impose à faire mais cela me parait bizarre )

    A suivre :)
  • jobherzt
    jobherzt
    attention, je ne te dis pas de te ramener a une seule equation en bidouillant les variables ! je vais essayer d'etre plus clair. imagines que tu aies 2 fonctions $x=f(t)$ et $y=g(t)$, et que tu essaies de trouver un $t$ qui les minimises "conjointement"... imagine que tu trouve une valeur de $t$ qui donne $(x,y)=(1,2)$, et une autre qui te donne $(3,0)$, laquelle prendra tu ? vu que tu recupere 2 variable, la notion de minimum est subjective, et depend de ce que tu veux obtenir.. si (comme c'est souvent le cas) il n'y a pas une fonctions plus importantes, la logique voudrait que tu minimise la norme de $(x,y)$, et si tes fonctions sont positives tu peux te ramener a minimiser $x+y$. donc je ne te propose pas simplement d'ajouter tes 2 fonctions, mais bien de definir precisement un et un seul critere a minimiser, et le plus logique semble etre $f(\theta, \beta)+g(\theta, \beta)$, sous la contrainte $f(\theta, \beta)=g(\theta, \beta)$. m'enfin je me rend compte que cela n'avance pas beaucoup le schmilblick de dire ca..

    au niveau logiciel, je ne sais pas si tu essaie une resolution exacte ?? mais sache qu'il semblerait judicieux d'essayer plutot une methode numerique... l'analyse par intervalle est meconnue mais donne de tres bons resultats, et surtout a l'enorme avantage de pouvoir imposer des contraintes arbitraires tres facilement !! jette un coup d'oeil du coté de globsol ou interval peeler.
  • tipe aie aie
    tipe aie aie
    Pour etre franc je ne comprends pas bien l'intéret de cet démarche car voulant minimiser

    $t = f(\theta,\beta)$
    $t = g(\theta,\beta)$

    Pourquoi aller introduire un autre paramètre alors que j'ai déja t = ...
    ( le mystère des maths peut etre :) ) Et je ne pense pas qu'il faille minimiser séparemment f de g car je ne cherche pas a minimiser f et g je cherche a minimiser f et g tout en ayant f=g [ce qui je pense n'a absoluement rien a voir car cela revient a minimiser f sur une surface d'équation $g(\beta,\theta)=0$. ( mais je peux me tromper ou ne pas avoir bien compris ... et je m'en excuse par avance :) )

    Sinon j'ai commencé a me renseigner sur interval peeler mais j'ai trouvé quelque chose sous matlab qui permet de faire de l'analyse par intervalle il faudra que je regarde si je peux en tirer quelque chose mais ca a l'air très intéressant en effet. Mais ca parait trop beau pour etre vrai je me méfie, il me suffirait de rentrer mon horrible fonction a minimiser en donnant des valeurs particulieres a mes contantes et pouf ??

    Et cela dit je n'ai pas une seule fonction a optimiser, pour en faire une seule fonction je dois introduire la fonction implicite ( aie ).

    cela dit avec la théorie des multiplicateurs de lagrange on peut réduire le probleme en disant que les gradients de f et de g (par rapport à theta, beta) doivent être linéairement dépendants en un minimum, c-a-d: det (grad f, grad g)=0. Tout minimum (local ou global) doit satisfaire cette condition. Voila l'equation est immonde mais peut etre que ca peut faire avancer le smilblik je ne sais pas . ( j'ai un peu peur que la méthode d analyse par intervalle ne soit capable que de trouver les minimums d'une fonction précise et non du systeme que j'ai ... )

    En tout cas merci infiniment de ce temps passé a me lire et a m'aider :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français