Fonction holomorphe dans un secteur angulaire.

Ludovic
Ludovic
dans Analyse
Salut à tous!

J'ai une question sur les fonctions holomorphes. Je me donne une fonction $f$ holomorphe définie sur un secteur angulaire $S$ dont le sommet est $0$. Je suppose que dans ce secteur, la fonction $f$ admet un développement asymptotique en $0$ sous la forme d'une série entière $\sum_{n \in \N^*} a_n z^n$ dont le rayon de convergence peut-être nul. La dérivée de la fonction $f$ admet-elle pour développement asymptotique la série dérivée $\sum_{n \in \N^*} na_n z^{n-1}$?

Merci pour vos réponses.

Réponses

  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Juste pour comprendre l'énoncé, le secteur angulaire que tu considères est le secteur ouvert ?
    Si non, quand tu dis que f est holomorphe sur S, cela signifie-t-il qu'elle est holomorphe dans un voisinage ouvert de S ? Disons que la notion d'holomorphie est définie sur des ouverts donc je me posais ces questions
  • Ludovic
    Ludovic
    Disons que $f$ est définie sur $\{z \in \C \slash 0<|z|<R \textrm{ et } Arg(z)\in]\alpha,\beta[\}$ et pas plus.
  • jean
    jean
    Salut Ludovic, j'ai l'impression que c'est bon.

    Si je note abusivement $f^{(n)}(0)=n!\,a_n$, en notant pour $\alpha<\alpha'<\beta'<\beta$ et $R>0$ (destiné à tendre vers $0$), et en considérant le chemin
    $$\Gamma_{R,\alpha',\beta'}=\Big\{r\,e^{i\theta}, (r,\theta)\in \big([R,2R]\times \{\alpha'\}\big)
    \cup \big(\{2R\}\times [\alpha',\beta']\big)\cup\big([2R,R]\times\{\beta'\}\big)\cup\big(\{R\}\times[\beta',\alpha']\big)\Big\}$$
    on peut exprimer $f^{(n)}(z)$ pour $z$ à l'intérieur du contour $\Gamma_{R,\alpha',\beta'}$ comme une intégrale sur $\Gamma_{R,\alpha',\beta'}$ d'une quantité dépendant de $f$ seulement. En fixant $R=\frac{|z|}{\sqrt2}$, puis en faisant tendre $z$ vers $0$ (uniformément sur le secteur $\theta\in[\alpha',\beta']$), en exprimant $f$ par son développement asymptotique, on devrait trouver ce qu'on veut, non, à savoir $f^{(n)}(z)\to f^{(n)}(0)$ ?
  • pat4
    pat4
    jean, lorsque tu écris meme "abusivement"
    $f^{(n)}(0)=n!a_n$ tu suppose que $f$ est derivable en l'origine
    et il n'y rien a demontrer.... le probleme est que $f$ est holomorphe
    sur le secteur angulaire et on veut recuperer l'holomorphie
    a l'origine donc comme le sooulignais "toto" sur un voisinage de zero et ca c'est tres fort...
    je pense qu'il y a du boulot surtout si en plus le rayon de CV de la serie est nul...
    as tu regarde du cote des th du type
    Phragmen-Lindelof qui portent sur des comportement de fonctions holo sur des secteurs angulaires.;
  • jean
    jean
    J'ai pourtant l'impression d'avoir démontré que $f^{(n)}(z)$ se prolongeait en $z=0$ par continuité par $n!\,a_n$ (je n'aurais pas dû le noter $f^{(n)}(0)$...
  • pat4
    pat4
    je precise ma pensee, il existe des fonctions holomorphes sur le disque unite admettant ce disque comme coupure mais qui se prolongent en une fonction indefiniement derivable sur le disque fermé. Si tu prends un secteur angulaire de sommet un point du bord, on peut raisonnablement esperer que sur ce secteur ta fonction verifie tes hypotheses (la serie entière du DA a alors un RDV nul car la fonction ne se prolonge pas...) elle ne peut toutzfois se prolonger.
    bien entendu c'est seulement une piste et je n'ai fait aucun calcul pour essayer de justifier mon affirmation....
  • Saïd7
    Saïd7
    Bonjour,

    Je réponds a la question initiale :
    On montre "facilement" qu'une fonction holomorphe $f$ admet un développement asymptotique en 0 dans $S$ sous la forme d'une série entière $\sum\limits_{n \in \N} a_n z^n$ ssi $$\forall n \in \N,\ \forall S'\in S,\ \lim _{\substack{z\rightarrow 0 \\ z\in S'}} \frac{f^{(n)}(z)}{n!} =a_n$$
  • jean
    jean
    Ludovic, ce serait sympa de réagir à ces tentatives de réponse (que ce soit juste ou pas).
    Que penses-tu donc de ce qui est écrit plus haut ? 8-)
  • Ludovic
    Ludovic
    Désolé de ne pas réagir plus à ce fil. Je dois bien avouer ne pas avoir assez réfléchi avant de poser la question.

    Finalement ce que l'on voudrait montrer, c'est :
    Si $f(z)=o(z^n)$, alors $f'(z)=o(z^{n-1})$.

    En utilisant la technique que propose Jean, on passe par le théorème de Cauchy :
    $f'(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{f(u)}{(u-z)^2} du$
    où $\gamma$ est un chemin d'indice $1$.

    Le plus simple est de prendre pour $\gamma$ un cercle de centre $z$ et de rayon $r=\alpha |z|$. Le problème, c'est que sur un secteur angulaire, on ne peut pas le faire sans qu'$\alpha$ dépende de l'argument de $z$ : à mesure que l'on s'approche du bord, la constante $\alpha$ doit tendre vers $0$. Or, c'est constante se retrouve dans le "$(u-z)^2$" et nos majorations divergent lorsque l'on se rapproche du bord. La seule façon que je vois pour conserver de bonne majoration est de réduire le secteur angulaire. Au final et avec cette technique, on ne peut obtenir que le résultat suivant :
    Si $f$ est définie sur un secteur angulaire $S$ centré en $0$ et $f(z)=o(z^n)$, alors $f'(z)=o(z^{n-1})$ sur tout secteur angulaire $S'\subset S$.

    Peut-être que l'on peut raffiner ça mais je ne vois pas.
  • Mauricio4
    Mauricio4
    C'est effectivement une consequence de la formule de Cauchy, regarde par exemple le texte de Malgrange dans expositiones mathematicae.
    M.
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