Equation fonctionnelle

Mathieu
Mathieu
dans Analyse
Bonjour,

Quelles sont les fonctions à valeurs réelles vérifiant $\forall x, y \in \R$ $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ ?

(sans supposer la continuité)

Je me suis posé la question recemment, j' ai pas trouvé ca évident du tout.
Les fonctions exponentielles conviennent, mais comment montrer que ce sont les seules
Vous avez des pistes?

Réponses

  • pB0
    pB0
    C'est faux. Les fonctions exponentielles sont injectives ou constantes. Toute application $\mathbf Q$-linéaire du $\mathbf Q$-espace vectoril $\mathbf R$ dans le $\mathbf Q$-espace vectoriel $\mathbf R_+^*$ (c'est un $\mathbf Q$-espace vectoriel avec la multiplication comme addition, par transport de structure) est solution. Or quand on a des espaces vectoriels non triviaux, il existe beaucoup d'applications linéaires dont des applications linéaires ni injectives ni constantes\ldots
  • Mathieu
    Mathieu
    Peut on décrire cet ensemble ?

    Car "il faut utiliser l'exponentielle" pour avoir un morphisme du groupe + au groupe multiplié
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