Equa. diff. oral X

Je ne pense pas que $(-2x)^2 + (1+(-2))^2 \leq 1$...

Je ne sais pas si ça vaut quelque chose mais j'essaierais bien de passer par les complexes en posant plutôt $g(x)=(1+f'(x))+if(x)$. On aurait alors pour hypothèse $\forall x\in \R, |g(x)|\leq 1$ et on pourrait écrire (formellement pour l'instant) $f(x)=e^{-ix}\int^x(g(t)-1)e^{it}dt$.
Je n'en ai pas tiré grand chose pour l'instant mais ça présent l'avantage de se débarasser des carrés et de se ramner à un problème linéaire.

Une solution dont je ne suis pas très satisfait :
la condition $(f(x))^2+(1+f'(x))^2 \leq 1$ impose
1) $-1 \leq f(x) \leq 1$
2) $-2 \leq f'(x) \leq 0$
ainsi $f$ est décroissante et bornée sur $\R$ et admet des limites finies en $+\infty$ et $-\infty$.
Si la limite $\ell$ en $+\infty$ est non nulle, alors, sur un intervalle $[x_0,+\infty[$,on a $(f(x))^2 \geq \dfrac{\ell^2}{2}$, donc
$(1+f'(x))^2 \leq 1 - \dfrac{\ell^2}{2}$ et $f'(x) \leq -1 + \sqrt{1 - \dfrac{\ell^2}{2}} = \alpha < 0$.
En intégrant, pour $x \geq x_0$ : $f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^xf'(t)\,dt \leq f(x_0) + \alpha(x-x_0)$, ce qui montre que $f$ est de limite $-\infty$ en $+\infty$, contrairement au fait que $f$ est bornée.
Ainsi $f$ est de limite nulle en $+\infty$.
On montre de même (...) que $f$ est de limite nulle en $-\infty$.
$f$ décroit donc de 0 à 0 : elle est nulle.

Doublé !

Salut,
<< {\it Oui, je regardais ici, si f ' n'admet pas 0 pour limite en l'infini, f ne peut pas être bornée, c'est ce que je regardais ici} >>
Essaie avec $ \dfrac{\sin(x^2)}{x}$

gb > {\it Une solution dont je ne suis pas très satisfait ..}
Qu'est ce que ne te plait pas, ta solution me semble très simple ?! .. Any way

En voici une autre assez proche, juste pour le fun ..
On doit avoir $f^2(x)\leq 1 \Longrightarrow -1 \leq f(x) \leq 1 $ et $(1+f'(x))^2\leq 1\Longrightarrow -2 \leq f'(x) \leq 0$
La fonction $f$ est donc bornée et décroissante sur $\R$, et on a : $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=B_s$ (borne Supérieure), $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=B_i$ (borne Inférieure).
L'inéquation initiale s'écrit aussi :
$f^2(x) + (f'(x))^2+2f'(x) \leq 0 \Longrightarrow \displaystyle \int_x^{x+1}f^2(t)dt+2(f(x+1)-f(x))\leq 0 \Longrightarrow f^2(u(x))+2(f(x+1)-f(x))\leq 0$, avec $u(x)\in ]x,x+1[$
Si $x\rightarrow - \infty$ on obtient $B^2_s\leq 0\Longrightarrow B_s=0$. Si $x\rightarrow +\infty$ on obtient $B^2_i\leq 0 \Longrightarrow B_i=0$.
Manifestement $f$ est la fonction nulle
-D

Pour AD : Non c'est pareil, mais je n'ai pas vu ta modif !


[MMu, tu es inscrit au forum. Pourquoi ne corriges-tu pas toi-même ton message ?
(lien "Modifier l'envoi" en bas à droite de ton message). AD]
[AD , je l'avait déjà fait fait, mais .. passons .. maintenant c'est OK]