Groupe cyclique

Quelques petits trucs :

1. Revenir à la définition.

2. $G \simeq \Z / n \Z$ pour un certain entier $n$.

3. $G$ sous-groupe d'un groupe cyclique.

4. Pour tout diviseur $d$ de $|G|$, il existe un unique sous-groupe $H_d$ de $G$ d'ordre $d$.

5. $G$ est abélien et $|G|$ est sans facteur carré.

6. $\mbox {pgcd} \left ( |G|, \varphi(|G|) \right ) = 1$.

7. $f$ homomorphisme de groupes et $G$ cyclique $\Rightarrow$ $f(G)$ est cyclique.

8. $G$ est un groupe abélien fini et {\bf simple}, alors il est cyclique d'ordre $p$ premier.

9. $|G| = pq$ avec $p < q$ premiers tels que $p \nmid (q-1)$, alors $G$ est cyclique.

Borde.

Salut Marc,

Déjà résolu il y a quelques mois sur ce forum...
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,177896,310494#msg-310494}
ou bien va voir l'exercice 1.20 (page 30) du livre de Francinou & Gianella, {\it Exercices de maths pour l'agrégation}, Algèbre 1, Masson.

Borde.

[J'ai ajouté le lien. AD]

Bonsoir,

J'aurais deux questions par rapport a ce qu'a dit Borde qui paraitront sans doute betes :

Qu'est-ce qu'est $\phi$ et qu'elle est la définition d'un groupe simple?

De rien, Alexandre.

Note que l'on peut aussi montrer la 9° à l'aide de la 6°, puisque, dans ce cas, $\varphi (pq) = (p-1)(q-1)$. Les conditions $p < q$ premiers et $p \nmid (q-1)$ sont alors suffisantes pour assurer $\mbox{pgcd} (pq, (p-1)(q-1)) = 1$.

Blue_matematic,

Marc a bien répondu. La prochaine fois, je rajouterai les définitions.

Borde.