A5 simple, graphe de Cayley

Lucas · February 2007

Bonjour,

J'ai entendu dire un jour qu'il était possible de prouver que $\mathcal{A}_5$ était simple uniquement à partir de considérations sur son graphe de Cayley. Mes recherches sur le forum n'ont rien donné.

Je suis curieux de connaître cette preuve si elle existe (ou une référence), parce que ça me parait assez joli comme idée. En plus les jurys d'agreg doivent en avoir marre de la preuve du Perrin (cela dit, dessiner le graphe de Cayley de $\mathcal{A}_5$, c'est pas gagné en 15 minutes).

Lucas.

Titou0 · February 2007

Bah, vu le prix de leurs vacations, ils peuvent bien entendre la preuve, ça ne dure pas très longtemps.

Et puis s'ils ne veulent pas l'entendre, et que tu es un très bon candidat, tu leurs proposes 3 développements en tout, comme ça, ils auront le choix.

seb · February 2007

Ou proposer celle de Lang ! Elle est tellement plus simple.

Seb

Ben pas loggué · February 2007

"Bah, vu le prix de leurs vacations, ils peuvent bien entendre la preuve, ça ne dure pas très longtemps."

Permettez moi de vous dire que votre approche n'est pas très saine : d'une part ces gens là sont censés vous noter puisque vous vous retrouvez devant eux, et si vous tenez à avoir le concours mieux vaut ne pas trop chercher à les indisposer. Ils peuvent entendre beaucoup de choses et même des horreurs, pour ce qui est de la note ce ne sera peut etre pas conforme à vos attentes ! D'autre part, le prix de leurs vacations n'est pas très élevé, et je ne pense pas qu'un prof de prépa normalement constitué (qui peut deja s'enrichir pendant l'année avec des colles) aille sacrifier son mois de juillet uniquement pour ce petit montant (les oraux des Mines payent mieux, me semble t il) ; et la phrase "vu le prix de leurs vacations" sonne à mes oreilles un peu comme "je suis client, je paye, donc on doit répondre à mes désirs" ...

Guimauve · February 2007

Bonjour

Voici le cheminement de la démo donné par Bouvier et Richard dans leur livre sur les groupes (ils citent un autre livre, "les groupes et leurs graphes", apparemment introuvable) :

1/ Ce groupe est engendré par deux éléments $r$ et $f$ tels que $r^5=e$, $f^2=e$, $(rf)^3=e$.

2/ Pour prouver que $A_5$ est simple, on montrera que si $h$ est un homomorphisme quelconque de $A_5$, alors :
- $h(r)=e \Longrightarrow h(A_5)=e$
- $h(f)=e \Longrightarrow h(A_5)=e$
- $x \neq e$ et $h(x)=e \Longrightarrow h(r)=e$ ou $h(f)=e$.

timousss · February 2007

Ben pas loggué Éécrivait:

> la phrase "vu le prix de leurs
> vacations" sonne à mes oreilles un peu comme "je
> suis client, je paye, donc on doit répondre à mes
> désirs" ...

Franchement je vois pas trop où tu veux en venir... Les jury d'agreg ont un role et des consignes à savoir ecouter les developpements des candidats et les noter en fonction de leur prestation. Après, que des developpements archi-classiques (genre A5 simple) soient légion ce n'est quand meme pas la faute du candidat. Et puis effectivement ils st qd meme plutot bien payés donc ils se doivent d'ecouter un developpement meme si ils l'ont entendu 50 fois auparavant... et meme plus, ils se doivent de juger le candidat sur sa prestation et ne pas tenir compte du fait qu'ils ont deja vu 100 fois ce developpement (imaginez que vous faites un tres bon developpement, mais que le jury agacé par la redondance de ce developpement, vous mette une note moyenne considérant que "y en a marre de A5 simple", vous trouveriez ca normal?)

Alors un peu de bon sens que diable

t-mouss

Lucas · February 2007

Ouh là... En fait je ne pensais pas déclencher une mini-polémique. C'était simplement de la curiosité, je ne suis plus concerné par l'agreg. Je trouvais ça juste dommage qu'il existe une jolie preuve et qu'on en apprenne une autre.

En tout cas merci Guimauve, je vais réfléchir à ces indications.

A5 simple, graphe de Cayley

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