fonction C°° à support compact

blue_matematics
blue_matematics
dans Analyse
Bonjour,

J'ai souvent entendu parlé de topologie sur l'espace des fonctions de classe $C^{\infty}$ à support compact mais je n'ai jamais vu de norme sur cet espace. Je connais la métrique définie par $$d(f_1,f_2)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}\frac{\|f_1^{n}-f_2^{(n)}\|_{\infty}}{1+ \|f_1^{(n)}-f_2^{(n)}\|_{\infty}}$$ mais concernant les normes je cherche mais je ne trouve pas.

Si vous pouviez m'éclairer j'en serais tres reconnaissant. Merci d'avance.

Réponses

  • jean
    jean
    Il n'y en a pas (mais je ne sais plus le démontrer...)
  • blue_matematics
    blue_matematics
    Merci, au moins ca a le mérite d'etre clair.

    Cependant, dans un exercice que j'avais trouvé ils demandent de démontrer que l'espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact est inclus dans un autre ensemble avec injection continue. Mais si il n'y a pas de norme sur l'espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact la notion d'injection continue n'a pas lieu d'etre ? (ou alors je me trompe dans la définition de l'injection continue).
  • pat4
    pat4
    La topologie associée à cette distance (qui est la tolopogie usuelle) n'est pas normable car elle est localement compacte (de toute suite bornée on peut extraire une sous suite cv ie ucv sur tout compact ainsi que toutes ses dérivées) maintenant en vertu du th de Riesz l'espace s'il était normable serait de dim finie.
  • jean
    jean
    D'après mes souvenirs, je crois même que cette topologie n'est même pas métrisable. La distance donnée au début n'en est pas une sur $\mathcal{D}(\Omega)$ (c'est l'une des notations de l'espace des fonction $\C^\infty$ à support compact dans $\Omega$).

    Lorsque l'on veut manipuler des propriétés de continuité, on se ramène la plupart du temps, non pas aux ouverts et aux voisinages de la topologie, mais plutôt aux convergences de suite.

    Dans $\mathcal{D}(\Omega)$ où $\Omega\subset\R^n$, voici comme est définie la convergence d'une suite: une suite $f_n$ converge vers $f$ si:
    1°) il existe un compact $K$ (indépendant de $n$) contenant le support de toutes les fonctions $f_n$ (c'est cette propriété qui, en gros, empêche l'existence d'une distance).
    2°) pour tout $k$ entier, la dérivée de $f_n^{(k)}$ convergent uniformément sur $K$ vers $f^{(k)}$.

    On peut donc parler d'injection continue à l'aide de la convergence de suites.

    Par exemple, $\mathcal{D}(\R^n)$ s'injecte continûment dans la classe de Schwartz $\mathcal S(\R^n)$, espace définie par les semi-normes $\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\R^n}|x^\alpha \partial^\beta f(x)|$, $\alpha$ et $\beta$ étant des multiindices dans $\N^n$. Cette fois par contre, $\mathcal{S}(\R^n)$ est bien métrisable...
  • pat4
    pat4
    Merci Jean de me corriger je n'avais pas bien lu le premier mel et pensais que l'on parlait de la topologie usuelle sur $\mathscr C^\infty$ où la topologie metrisable mais non normable est engendrée par la famille dénombrable de semi-normes
    $$p_n(f)=\sup_{x\in K_n,\ k\leq n}\Vert f^{k}\Vert_{K_n}$$
    $(K_n)_n$ est une suite exhaustive de compacts. Elle n'est pas normable pour les raisons citées plus haut.
    Pour la distance proposée par BlueMath, ça ne marche pas non plus car $\mathscr D(\mathbb R^d)\subset\mathscr C^\infty(\mathbb R^d)$ mais la raison n'est par claire pour le moment. Cette topologie est-ellle localement compacte ? : Une suite bornée pour cette topologie le sera pour $ C^\infty(\mathbb R^d)$ donc admettra une sous suite cv dans $ C^\infty(\mathbb R^d)$ il reste alors à prouver qu'elle va converger pour la topo associée à la distance ie UCV sur R^d de toutes les dérivées... A éclaicir..

    A suivre... C'est vendredi soir... Je regarderai mes notes sur le sujet demain si ce n'est pas réglé d'ici là.

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Mauricio4
    Mauricio4
    L'espace D n'est pas metrisable car ne satisfait pas la propriete de Baire.
    M.
  • pat4
    pat4
    Salut Mauricio, bien sûr tu as raison cette topologie coïncide avec la topologie usuelle de D qui n'est pas normable pour la raison invoquée par Mauricio ou parce qu'il est lui aussi localement compact...

    On pourrait se poser une autre question : Tu considères maintenant l'espace des fonctions $C^\infty$ à support non nécessairement compact mais à dérivées bornées sur $R^d$ et tu le munis de la topo associée à la distance de BlueMath. Montrer que cette topologie n'est pas normable...
  • jean
    jean
    Merci Mauricio. Par exemple, si on pose $F_n=\big\{f\in\mathcal{D}(\R^d), f(0)=1, \mathrm{supp}\, f\subset \bar B_{\R^d}(0,1/n)\big\}$, alors $F_n$ est une suite décroissante de fermés d'intersection vide. Pourtant, l'espace $\mathcal D(\R)$ est [séquentiellement] complet...

    La distance donnée par blue_matematics correspond à la convergence uniforme de la fonction ainsi que de celle de toutes les dérivées. Ce serait la distance naturelle de l'espace des fonctions $C^\infty(\R)$ dont toutes les dérivées sont bornées, ou bien de l'espace des fonctions $C^\infty(\R)$ dont toutes les dérivées tendent vers $0$ en $\pm\infty$.

    L'espace associé est bien localement compact: si une suite de fonctions $(f_n)$ est telle que $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(k)}|\le C_k$, elle est bien compacte :
    - d'une part à l'aide du théorème d'Ascoli, grâce à $C_{k+1}<\infty$, on peut extraire de $f_n^{(k)}$ une sous-suite convergente.
    - d'autre part à l'aide de procédé d'extraction diagonal de sous-suites.
    - enfin, avec une rédaction pénible que j'ai la flemme d'écrire.
  • gilles benson
    gilles benson
    bonjour, voici ce qu'on peut trouver sur le sujet en anglais:

    An important function space in functional analysis is the space D(U) of functions with compact support in U ⊆ Rn. A more detailed construction is needed for the topology of this space because the space C∞0(U) is not complete in the uniform norm. The topology on D(U) is defined as follows: for any fixed compact set K, the space C∞0(K) of functions with supp(f)=K is a Fréchet space with countable family of seminorms ||f||m=supx |Dmf(x)| (these are actually bona fide norms, and the space C∞0(U) with the ||*||m norm is a Banach space Dm(K)) . Given any collection of {Kλ}λ compact sets such that ∪λKλ = U, then the C∞0(K&#955) form a direct system, and D(U) is defined to be the limit of this system. Such a limit of Fréchet spaces is known as an LF space. More concretely, D(U) is the union of all the C∞0(K&#955) with the final topology which makes each inclusion map C∞0(K&#955)↪D(U) continuous. This space is locally convex and sequentially complete, but not complete (this means that all Cauchy sequences converge, but not necessarily more general Cauchy nets). The space is not metrisable, and so it is not a Fréchet space. The dual space of D(Rn) is the space of distributions on Rn.

    \lien{http://en.wikipedia.org/wiki/Locally_convex}
    Personnellement, j'aurais juré que cet espace était métrisable mais une bonne vérification vaut mieux qu'une mauvaise affirmation.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • blue_matematics
    blue_matematics
    Je vous remercie pour vos réponses.

    Concernant la topologie de $D(\R)$, je pensais qu'elle était associée a ma métrique, mais avec la convergence des suites dans $D(\R)$ c'est plus clair désormais.
  • anonyme1
    anonyme1
    Bonjour,

    Je sais bien que la disscussion date de 4 ans mais ce que je vois me fait bondir...

    Sauf erreur de ma part, pour tout réel $p$ au moins égal à 1, l'application $\|\ \|_p$ suivante est une norme sur $\mathcal{C}^\infty_c(\mathbb{R})$:
    $$\forall f\in\mathcal{C}^\infty_c(\mathbb{R})\;\|f\|_p=\left(\int_{x=-\infty}^{+\infty}|f(x)|^p\right)^{\frac1p}$$

    De même, l'application induite par la norme infinie sur $\mathcal{C}^0(\mathbb{R})$ convient.

    Merci de me corriger si je me trompe.
  • egoroffski
    egoroffski
    Tu ne trompes pas Anonyme. La question de départ était mal formulée, il faut lire : existe-t-il une norme sur $C_c^{\infty}$ induisant sa topologie d'EVT usuelle ? C'est également dans ce sens qu'il faut interpréter les réponses apportées.
  • remarque
    remarque
    Il y a quand même des trucs faux : par exemple, il est affirmé de façon répétée que ces espaces sont localement compacts... 8-)
  • egoroffski
    egoroffski
    Ah, euh ... oui bien sûr, je l'avais vu tout de suite ! J'ai juste oublié de l'écrire...
  • sidi addi
    sidi addi
    Merci pour ces nombreux résultats, j'ai souvent utilisé la définition de la convergence de suites dans D(Rn) la seule chose qui m'a attiré l'attention c'est qu'on approche les opérations et les propriétés usuelles sur D(Rn) par l'étude des espaces usuels Rn, ou les corps K c'est : vous trouvez une norme sur cet espace. J'aimerais bien vérifier si cette définition qu'on utilise reste vraie parce que dès la définition, je trouve qu'on ne peut pas trouver de norme sur ces espaces.
    X:-(
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