Normes équivalentes

Bonsoir,

Grâce à l'axiome du choix, considère une base $(e_{i})_{i\in I}$ de $E$. Si $x \in E$, $x$ peut s'écrire $x=\sum\limits_{i=0}^{n}\lambda_{i} e_{i}$.
Posons alors $N_{1}(x)= \sup\limits_{i\in\{0,1,...,n\}} |\lambda_{i}| $ \quad et $N_{2}(x)= \sum\limits_{i=0}^{n} |\lambda_{i}|$.
Ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Janne

Histoire de corriger la réponse de Janne : dans un espace vectoriel réel de dimension finie, étant donnée une base B (axiome du choix ...), on peut définir les normes N_p dans la base B (à ce sujet, les notations de Janne sont bizarres, N_2 étant plutôt N_1 etc.). Et on doit pouvoir montrer par exemple que N_1 et N_infini ne sont pas équivalentes.

Je me demande si deux normes N_p (pour le même p) définies dans deux bases différentes sont équivalentes ?

L'exemple de Janne est bon, seule la variation des indices ne l'est pas.

Lorsque $(e_i)_{i\in I}$ est une base, cela veut dire que tout vecteur de $E$ est une unique combinaison linéaire {\it finie} d'éléments de la base. On peut donc écrire:
$$x=\sum_{i\in I} \lambda_i e_i$$
où la famille de scalaire $(\lambda_i)_i$ est à support fini (c'est à dire que tous les $\lambda_i$ sont nuls, sauf un nombre fini, ce qui donne bien un sens à la somme). De même, les quantités $N_\infty(x)=\sup\limits_{i\in I}|\lambda_i|$ et $N_1(x)=\sum\limits_{i \in I}|\lambda_i|$ sont correctement définies, et définissent des normes non équivalentes (prendre $x_n=\sum\limits_{k=1}^n e_{i_k}$ où $(i_k)_k$ est une suite injective d'éléments de $I$).

PB: On se restreint aux espaces ayant une base dénombrable (ce qui n'est pas une perte de généralité ici si l'on veut démontrer la non-équivalence des normes [...]), indexée par $\N^*$.

Si $x=\sum\limits_{n\in \N^*}\lambda_{n,F}f_n$ où $F=(f_n)_{n\in N^*}$ est une base à faire "varier", et que l'on pose $N_{p,F}(x)=\bigg(\sum\limits_{n\in\N^*}|\lambda_{n,F}|^p\bigg)^{1/p}$, essaye de comparer $N_{p,F}$ et $N_{p,G}$ où la base $F=(f_n)_n$ est donnée, et la base $G=(g_n)_{n\in\N^*}$ est définie par $g_n=n\,f_n$.

Idem avec $N_{\infty,F}=\sup\limits_{n\in\N^*}|\lambda_{n,F}|$.

En général, quand on ne précise pas, le corps de base est $\R$ ou $\C$...