cos et sin définis comme solutions d'une équadiff

Gonzalo · February 2007

Le fil Construction et propriétés du cosinus (défini comme série) me fait penser à une autre construction. Pour pas tout mélanger, je fais un fil séparé.

D'accord ça va chercher loin puisqu'on utilise Cauchy, mais si on définissait cosinus comme la solution de l'équadiff c''=-c avec les conditions initiales c(0)=1 et c'(0)=0. Tant qu'on y est on définit sinus comme solution de s''=-s avec C.I. s(0)=0 et s'(0)=1.

On obtient facilement s'=c et c'=-s, puis c^2+s^2=1 (si je note f le mdg, f(0)=1 et f'=0)

En utilisant valeur intermédiaire, accroissement fini etc il ne doit pas être trop dur de voir que c s'annule en un point qu'on peut appeler pi/2, puis que c et s sont 2pi-périodiques et les autres propriétés de symétrie (c(pi-t)=-c(t) etc)

Quelqu'un a déjà essayé de faire ça en détail?

rainboo · February 2007

Tu peux aussi chercher une solution de ton équation différentielle sous forme d'un développement en série entière

Gonzalo · February 2007

Ouais - et pour faire Paris-Madrid, tu peux aussi passer par Copenhague.

L'intérêt c'est qu'on peut connaître des propriétés de la solution SANS connaître la forme de la solution (série ou autre) La forme de l'EQUATION suffit.

Par exemple: c(0)=1 donc c(t) positif au voisinage de t=0. Et tant que c>0 on a c''<0: pas dur de voir que quand c'est positif avec concavité vers le bas, ça doit finir par s'annuler. Tu vois: c>0 => c''<0 c'est l'EQUATION qui te le dit directement.

Aleg · February 2007

Gonzalo,
mon avis est que c'est plutôt toi qui cherche une manière détournée de définir les fcts trigonométriques ! (même si ta démarche paraît originale).
Admettons les détails techniques résolus de façon à pouvoir définir $\pi $ sans problème, mais, dans le cadre que tu as défini, comment fais-tu pour obtenir $\cos (a+b)$ ?

egoroff · February 2007

Salut Aleg (et les autres)

Ben on définit $f(x)=c(a+x)-(c(a)c(x)-c'(a)c'(x))$ ; $f$ vérifie l'équation $y''=-y$ et on constate que $f(0)=f'(0)=0$, donc $f=0$.

Aleg · February 2007

merci Egoroff.

egoroff · February 2007

Je t'en prie, Aleg.. à vrai dire je ne l'ai pas inventé, il me semble avoir déjà vu cette construction quelque part mais 1) c'était assez galère 2) je ne me souviens pas du tout où j'ai pu voir ça, désolé Gonzalo...

Erlangen · February 2007

Mis à part l'utilisation du théorème de Cauchy, je ne vois pas ce qu'il y a de galère à cette méthode. Certes, elle est moins calculatoire et plus conceptuelle (ce qui explique sans doute l'étiquette "L3" que Gonzalo a attachée au titre).

L'existence d'une racine est vraiment le seul point qui demande un petit travail technique, pour rendre précis l'argument intuitif de la concavité. On peut procéder comme suit (voir la figure ci-dessous). Supposons par l'absurde que $c$ ne s'annule jamais. Alors $c(t)>0\;\forall t$ par continuité, donc $c''(t)<0\;\forall t$, d'où $c'$ est strictement décroissante. Comme $c'(0)=0$, on a donc $c'(t)<0\;\forall t>0$. Fixons $t_0>0$ : pour tout $t>t_0$, on a alors $c'(t)<c'(t_0)$, donc $c(t)<c(t_0)+(t-t_0)c'(t_0)$ par accroissements finis. Le membre de droite, linéaire décroissant, s'annulera en un certain $t_1>t_0$, donc $c(t_1)<0$, une contradiction.

Tout le reste (périodicité, parité, formules trigonométriques usuelles,...) s'obtient sans peine, souvent en invoquant l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy.

De plus, je trouve cette approche autrement plus séduisante que de sortir une série entière de son chapeau. On obtient ici la fonctions (co)sinus comme solution de ce qui n'est autre que l'équation d'un oscillateur, décrivant le mouvement d'une masse attachée à un ressort (la force de rappel du ressort est proportionnelle au déplacement $y$ de la masse par rapport à la position d'équilibre et va en sens opposé, donc il en est de même pour l'accélération $y''$, d'où l'équation $y''=-y$ après normalisation). C'est assez gratifiant de pouvoir deviner d'emblée le comportement qualitatif (oscillations, périodicité) des solutions, ce qu'on ne voit pas trop sur les séries.
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Aleg · February 2007

Erlangen,
tu as raison en disant que cette approche est "séduisante".

Effectivement, la motivation physique (équation d'un oscillateur) est plus concrète que la théorie des séries entières, et je trouve que ça ferait une façon alternative d'introduire cosinus et sinus dans l'enseignement secondaire (je veux dire : alternative à "la perception" géométrique qui sert aujourd'hui de définition). Les profs de physique seraient très contents !

Evidemment, il faut admettre l'unicité de la solution pour les conditions initiales données (Cauchy, c'est quand même la grosse artillerie..), mais, bon, de toute façon, on le fait bien pour l'exponentielle réelle, maintenant introduite au Lycée de façon similaire.

Ceci dit, c'est la question que j'avais posée au début qui me chagrine :

Egoroff a montré de façon très élégante comment, dans cette approche, on pouvait obtenir $\cos(a+b)$ mais sa méthode suppose plus ou moins de connaître déjà la formule...: tout le monde ne peut pas avoir ses idées de génie..

Or, que ce soit à partir de la "définition" géométrique élémentaire ou de la définition plus élaborée à partir de l'exponentielle complexe, cette formule s'obtient de façon très simple, sans préjuger qu'on la connaisse déjà.

C'est ce qui modère fortement mon enthousiasme.. : comme tout ce qui peut être séduisant, ça a son petit côté artificiel quand même.

Gonzalo · February 2007

Erlangen: merci pour la démo de racine de cosinus!

Aleg: tu as raison mais je fais un peu autrement. J'observe au début que la solution de y''=-y avec les CI y(0)=a y'(0)=b, c'est y(t)=a*c(t)+b*s(t) (c'est clair vu que les CI "de base" (a,b)=(1,0) et (a,b)=(0,1) donnent y=c et y=s)

Alors pour u fixé y(t)=c(t+u) est solution de y''=-y avec CI y(0)=c(u) et y'(0)=-s(u) d'où y(t)=c(u)c(t)-s(u)s(t) sans connaître d'abord la forme du second membre.

Erlangen · February 2007

Observons pour commencer que la remarque d'Aleg est plus profonde qu'il n'y paraît : le problème de savoir pourquoi une solution de telle équation différentielle vérifie telle formule d'addition est en fait à l'origine de tout un pan de la théorie des fonctions spéciales !

Pour revenir à la remarque proprement dite, une manière d'y répondre est peut-être de considérer la solution de l'équation {\it vectorielle\/} $y''=-y$ dans ${\mathbb R}^2$, avec les conditions initiales $y(0)=(1,0)$ et $y'(0)=(0,1)$. Les physiciens savent très bien que cela donne un mouvement circulaire uniforme ; montrons-le ici.

(1) Mouvement circulaire (centré en $(0,0)$) : il faut montrer que $\|y\|^2=y.y$ est constant, càd.\ que $(y.y)'=2y.y'$ est nul. Posons $f=y.y'$ ; un calcul direct montre que $f''=-4f$, mais comme $f(0)=f'(0)=0$, on en déduit $f=0$ par Cauchy.

(2) Mouvement uniforme : il faut montrer que $\|y'\|^2=y'.y'$ est constant, mais on a $(y'.y')'=2y'.y''=-2y'.y=-2f=0$.

On peut alors {\it définir\/} les fonctions cosinus et sinus par $y(t)=\bigl(\cos(t),\sin(t)\bigr)$. (Physiquement, cela revient à dire que le mouvement circulaire uniforme s'obtient par superposition de deux mouvements oscillants (convenablement déphasés) suivant des directions perpendiculaires.)

Cette approche, tout en étant toujours tributaire de Cauchy, a cependant l'avantage, me semble-t-il, d'être à la fois rigoureuse (définition de cos et sin comme solution d'un problème de Cauchy) et proche de l'intuition géométrique (cercle trigonométrique, vu ici de manière ``dynamique''). En particulier, le changement de paramètre $t\mapsto t+u$, donnant lieu aux formules d'addition, correspond ici à une rotation du cercle, et on sait bien que les rotations donnent une interprétation particulièrement naturelle de ces formules.

(P.S. Le recours, dans (1), à une dérivée d'ordre~3 peut paraître malheureux, mais il est sans doute inévitable : un cercle se caractérise par sa courbure constante, mais la courbure s'exprime déjà en termes d'une dérivée d'ordre~2, et on cherche à annuler sa propre dérivée...)

Aleg · February 2007

Merci Erlangen, c'est effectivement plus naturel comme ça.

cos et sin définis comme solutions d'une équadiff

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