Loi de Gumbel / Période de retour

Bonjour,

Selon la théorie des valeurs extrèmes développées par Gumbel, si on considère les n variables aléatoires indépendantes Xi, de même densité, dont l'espérance du maximum, Xmax, est m et l'écart type est s, alors :

W = Pi/(s Sqrt(6)) * (Xmax - m) + g

avec g la constante d'Euler,

suit une loi de Gumbel (en G(y)=exp(-exp(-x)) pour la fonction de répartition).

Est-ce que cet énoncé est correct ? Ne doit-on pas rajouter une condition sur la densité de probabilité des Xi ou de Xmax pour être juste, notamment un décroissance de la forme exponentielle ?

Partant de ce théorème et de la loi de Gumbel, on définit généralement une période de retour pour une variable y, par le rapport 1/(1-G(y)). cette valeur correspond au nombre d'observations "n" nécessaires pour espérer voir apparaitre y comme valeur maximale des Xi.

J'ai beaucoup de mal à interpréter cette valeur. Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer quel raisonnement est développé pour obtenir ce résultat et ce qu'il représente réellement ?

Il est évident que, étant donné que nous sommes en statistique, il n'y a aucune assurance à obtenir y comme valeur maximale. Sauriez-vous m'indiquer quelle marge d'erreur a-t-on par rapport à cette valeur pour déterminer "n" ?

Merci d'avance de votre aide,

Nathan_g

Réponses

  • Bonjour,

    en vitesse faute de temps : il faut effectivement une décroissante exponentielle pour la queue de distribution 1-F où F est la fonction de distribution. Si ce n'est pas le cas, on peut tomber sur une des deux autres lois limites possibles pour la distribution du max (Frechet avec décroissance polynomiale et Weilbull avec décroissance plus rapide qu'exponentielle). On peut aussi tomber sur ... rien du tout (loi limite dégénérée). Tout ceci est évidement "résumé" et "avec les mains".
    Pour l'interprétation je n'ai pas trop le temps de m'y plonger, désolé.

    Amicalement,
  • Merci de ces précisions.

    Pour la queue de distribution, j'avais effectivement précédemment vu ces 3 catégories selon la rapidité de la décroissance mais appliquée à f, la densité de probabilité de la variable Xi. Sans doute cela est-il équivalent de réaliser ces catégories en considérant la valeur 1 - F, où F est la fonction de répartition de Xi.

    Est-ce exact ?

    D'autre part, si quelqu'un pouvait m'aider à clarifier le calcul que l'on réalise pour définir la période de retour comme étant égal à 1/(1-G), ...

    Merci d'avance de votre aide,

    Nathan_g
  • Bonjour,

    Je continue mon exploration de la loi de Gumbel qui m'avait conduit à poser le précédent sujet sur la notion de période de retour.
    Sur le même problème de montrer qule valeur maximale d'un ensemble de mesures suit la loi de Gumbel, je viens de "découvrir" un certain phénomène mais sans avoir trouvé encore de publications le démontrant :

    Si on considère les Xi {1 <= i <= n} réalisations ordonnées d'une variables aléatoire qui a une densité de probabilité de décroissance exponentielle, alors Xn, la valeur maximale de cet ensemble est telle que :

    (Xn-m)/s converge en loi vers la loi de Gumbel, avec m et s deux paramètres dépendant de l'espérance et de l'écart-type de Xn.

    Partant d'un ensemble de mesures Mj {1 <= j <= p} ordonnées, par exemple la hauteur maximale de crue d'une rivière sur une période donnée, on retrouve la statistique de Gumbel en traçant les points {-log(-log(Mj)),Xj} et, par une méthode des moindres carrés, on "fite" ces points par une droite d'équation y = (x-a)/b. a et b sont alors des estimations "correctes" des paramètres m et s.

    La question que j'ai est de savoir la rapidité de convergence de a et b vers m et s. Dans le cas où on suit une loi de Weibull et non de Gumbel, j'ai trouvé des références qui montre que les estimations réalisées des paramètres suivent une loi normale de moyenne et d'écart-type défini. Les simulations que j'ai réalisée montrent le même phénomène pour l'estimation des paramètres de la loi de Gumbel et une convergence des paramètres a et b vers une loi normale. Cela a très certainement été déjà démontré depuis longtemps mais je n'ai pas trouvé d'articles précis à ce sujet sur une convergence de a et b selon une loi normale ?

    Auriez-vous des références à ce sujet ?
    Sauriez-vous quel statistique suivent les estimations de a et b comme réalisation d'une variable aléatoire ? Quelles seraient la moyenne et l'écart-type de ces paramètres ?

    Merci d'avance de votre aide,

    Nathan_g
  • Bonjour.

    Tu peux peut-être aller picorer sur le site de Nicolas Bouleau :
    http://www.enpc.fr/HomePages/bouleau/publications.htm

    Cordialement
  • A durée égale de pluie ,plus un évenement sera intense et plus son temps de retour sera grand. Estce que cette affirmation est fausse ou vraie ???????
    justifier votre réponce merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
  • Bonjour kadir.

    Sans autre précision, ton énoncé n'a pas de raison d'être vrai. Peux-tu préciser le contexte et les modèles utilisés ?

    Cordialement
  • Bonjour,

    Lorsque l'on parle en maths de période de retour, peu importe la loi qui est en cause, immédiatement on contredit Prigogine (Prix Nobel) qui lui-même a démontré si ma mémoire est exacte la limite du théorème de Poincarré (théorème du temps de retout).

    Des lumières S.V.P !

    Cordialement

    czim
  • Bonsoir Czim.

    Je te retourne le compliment : "Des lumières S.V.P ! ".
    C'est à dire que je n'ai pas compris de quoi tu peux bien parler. D'autant qu'il y a plusieurs lieux où l'on parle de temps de retour ou de période de retour : maths financières, statistiques, calcul stochastique, ... et que Ilya Prigogine ne fait pas particulièrement des maths.

    Cordialement.
  • l'intensité de la pluie est fonction de la durée et du temps de retour

    soit i(mmh) =
    f (d , T) ou d = durée de la pluie et T le temps de retour

    pour d fixé , il sufit d'étudier les variations de la fonction
  • C'est du n'importe quoi !

    "la pluie" ?? Quelle pluie ? où ? Quand ?

    Intervenir un an après pour dire ça, est-ce bien sérieux ?
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