questions diverses

Bonjour,

en faisant un sujet de maths géné (89 je crois), il y a certaines questions qui m'ont bloquées:
Soit la matrice : $A=\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 7 & 25 \end{pmatrix}$
On note $m(A)=z.A.z^*=\inf_limits{x \in S^n} (xAx^*),\ x \neq 0$. (on a montré que l'inf est atteint dans une question )
On note $x=(x_1\ x_2)$ et $x^*$ est la transposée de $\bar x$
Il faut ici calculer $m(A)$.
Dans la correction, ils disent que $m(A)>1$ et atteint $1$ en $(-3,1)$ , alors qu'en $(-3,1)=x$, je trouve $m(A)=2 |x_1|^2 +25 |x_2|^2 +7(x_1 \overline{x_2}+ \overline{x_1} x_2)=2\times 9+25$, ce qui est loin de faire $1$ , et je ne sais pas pourquoi mon raisonnement est faux.

Dans la suite du sujet :
On a un polynôme unitaire irréductible de degré $n>1$, à coeffs dans $\Z$. On sait que $P$ est irréductible sur $\Q$ et que $P(a)=0$.
On doit montrer que si $I$ est un idéal non nul de $\Z[a]$, alors $I$ est un groupe abélien libre de rang $n$.

Je sais que $I.\Z[a] \subset I \subset \Z[a]$.
Je n'arrive pas à montrer que si $\deg(P)=n$ et que $P$ est irréductible sur $\Q$, alors $\Z[a]$ est un groupe abélien libre de type fini de rang $n$.
Et je ne sais pas non plus comment revenir à $I$. La correction est très succinte.

Enfin, j'ai une question que je me suis déjà plusieurs fois posée, par exemple ds la démo du th. des deux carrés (dans le Perrin)
Soit $a$ tel que $a^2-a+5=0$
Par le théorème d'isomorphisme, j'arrive facilement à montrer que $\Z[a]$ et $\dfrac{\Z[X]}{(X²-X+5)}$ sont isomorphes.
Ensuite, je ne sais pas bien comment expliquer :
$\dfrac{\Z[a]}{(2)}$ et $\dfrac{\Z[X]}{(2,X²-X+5)}$ sont isomorphes, puis que $\dfrac{\Z[a]}{(2)}$ et $\dfrac{(\Z/2\Z)[X]}{(X²+X+1)}$ sont isomorphes.
J'ai essayé aussi avec le théorème d'isomorhisme, mais ça ne marche pas bien.