Math et finance

Je pose $x = \dfrac{1}{1+r}$, l'équation s'écrit alors
$$82x + 82x^2 + 102x^3 + 102x^4 - 327 = 0$$
dont je suppose que l'on cherche les racines positives, puisque, si j'ai bien compris, $r$ doit être un taux à calculer.
$f(x) = 82x + 82x^2 + 102x^3 + 102x^4 - 327$ est visiblement strictement croissante sur $[0;+\infty[$ avec $f(0) = -327$ et $f(1) = 41$.
L'équation a donc une unique solution dans $[0,1]$.
Cette équation du quatrième degré pourrait se résoudre par méthodes algébriques, mais la résolvante $41616y^3 - 16728y^2 + 141780y - 40313$ n'a pas de racines sympathiques, et les résultats seront tordus.
Une méthode de résolution approchée conduit à $x \approx 0,9552531275$, donc $r \approx 4,68$ \%.

Dichotomie, méthode de Newton, cherche sur Wikipedia ou sur le site, c'est un sujet classique...

Une banale interpolation linéaire permet d'avoir une idée du taux:

Si r=0,04, on a x=0,962 et si r=0,05, on a x=0,952

f(0,952)=-2,832
f(0,962)=5,936

L'interpolation linéaire donne x=0,955, soit r=0,047

En général dans ce genre de problème, on a, pour des raisons financières, une idée de l'encadrement du taux.

Il s'agissait ici d'un emprunt à paliers de montant 327, remboursé par 4 annuités: les deux premières de 82 et les deux suivantes de 102.