Pourquoi calculer l'écart type?

Joël3 · January 2007

Bonjour,

J'amerais savoir quel est l'interêt de calculer l'écart type d'une série statistique plutôt que la moyenne des écarts à la moyenne (la moyenne arithmétique des écarts à la moyenne de la série).

En quoi l'écart type est-il plus intéressant ?
Merci.

nathan_g · January 2007

Une des raisons est déjà que l'utilisation du carré dans la somme permet d'augmenter l'importance de ces écarts. Ainsi, si on double la distance à la moyenne, on multiplie par 4 la valeur entrant dans la sommation donnant la variance, ce qui permet de mieux caractériser la dispersion des résultats.

L'expression de la variance permet également des relations simples entre moyenne des valeurs et moyenne de leurs carrés (Var = E(X²)-E(X)²) et facilite la manipulation des expressions. L'utilisation d'écart "simples" (commue tu le proposes) nécessiterait d'utiliser des valeurs absolues, ce qui rendrait plus difficile la manipulation de ces grandeurs.

Eric Lafosse1 · January 2007

Ah parce que quand on calcule le carré d'un nombre, on trouve un nombre plus grand?

Lucas · January 2007

Bonjour,

Il y a au moins une raison simple, mais peut-être qu'elle n'est pas satisfaisante intellectuellement. C'est le fait que c'est plus facile en général, parce qu'en plus de la raison invoquée par nathan, calculer une variance (plus généralement mimiser une somme de carrés), c'est faire une projection orthogonale.

jean lismonde · January 2007

bonsoir

Nathan a bien répondu sur l'aspect pratique de la variance et de l'écart-type

pour mesurer la dispersion d'une distribution statistique on peut utiliser des quartiles et les déciles qui sont certainement plus significatifs que l'écart-type qui lui a tendance à surestimer les valeurs extrêmes de la distribution

mais quartiles et déciles restent d'un maniement forcément assez lourd

les calculatrices sont elles programmées pour les calculs de moyenne et écart-type

cordialement

jp · January 2007

Bonjour,
N'y a-t-il pas aussi le fait que la somme des écarts à une valeur x n'est pas une foncion dérivable de x, alors que la somme des carrés des écarts l'est.
Je crois que ça intervient dans je ne sais plus quel calcul... (régression linéaire ?)

gege0 · January 2007

Une petite question que je me posais :

Si on s'intéresse à une série de valeurs qui sont exprimées dans une certaine unité, en mètres par exemple, on peut dire que la moyenne de ces valeurs est en mètres, mais l'écart-type est-il lui aussi homogène à des mètres ?

Yves · January 2007

Oui puisque l'écart type sera alors la racine carrée d'une somme de mètres carrés.

Yves

GERARD · January 2007

Bonsoir.

En fait, la situation est plus complexe. L'outil statistique qui s'est imposé est la variance (carré de l'écart type), qui a des caractéristiques intéressantes (facilité des calculs, traduction possible en termes d'énergie, ou de moments quadratiques, décomposition simple en fonction des sous-populations, etc.) et qui se généralise avec les "moments d'ordres supérieurs". La moyenne des écarts absolue est intéressante, en particulier en lien avec la médiane, mais ne donne pas des applications aussi utiles.
Le coeur du problème est l'utilité de modéliser les situations statistiques à l'aide de variables aléatoires (statistiques inférentielles), donc d'être capable de faire les calculs utiles. Et aussi le fait que l'écart type est une "mesure naturelle" de la position des valeurs autour de la moyenne (Règle de Bienaymé-Tchebicheff).
L'écart type est moins intéressant, mais pratique en lien avec la moyenne, car il a la même unité. C'est la concrétisation de la variance dans les termes mêmes de la variable statistique (ou probabiliste).

Cordialement

Yop0 · January 2007

Pour compléter un peu.

C'est la distance euclidienne entre une variable aléatoire et une constante. Du coup, algébriquement, des tas des choses se passent bien. Il faut sans doute avoir un minimum étudié les espaces euclidiens voire avoir fait un peu d'analyse fonctionnelle pour bien apprécier cela.

C'est un objet qui intervient naturellement : voir le TCL par exemple (et toutes ses conséquences en stats).

koniev2 · January 2007

Bonsoir
L'écart à la moyenne (même en valeur absolue) ne va pas loin seul l'écart-type est utile par la suite en théorie et en pratique.
Koniev

ANOUAR0 · January 2007

Comment fait-on pour insérer un lien hypertexte ?

http://www.grappa.univ-lille3.fr/~torre/guide.php?id=teststats

[Sans LaTeX tu écris le lien (qui doit commencer par "http://..." )
Avec LaTeX tu écris \lien{http...}. AD]

Christophe Schouwey · May 2013

Je ne peux pas me prononcer sur l'utilité de l'écart-type dans les sciences exactes.

Toutefois, dans en sciences sociales, où il est indipensable que les chiffes soient largement compris, une notion telle que l'écart médian à la moyenne me paraît plus intéressante:
- elle divise natuellement l'échantillon en quartiles.
- étant une médiane de médiane, on saisit assez vite ce qu'elle veut dire. Si on me dit que parmis la moitié des petits, il y en a exactement la moitié qui sont encore plus petit que moi, je comprend bien ce que cela veut dire. Si on me dit que je suis à l'écart type, je devrais être un "petit typique", mais je n'ai aucune intuition de ce que cela signifie. (sauf dans le cas particulier d'une distribution normale, où les deux tiers de l'échatillon se situent dans une fourchette de plus ou moins un écart-type par rapport à la moyenne).

Les chercheurs en sciences sociales et les journalistes devraient avoir pour premier devoir de produire des chiffres facilement intelligibles pour le commun des mortels. Cela pullule d'erreurs et de manipulation, le grand public a par exemple souvent de la peine à comprendre que 100 représente une diminution de 33%, et non de 50%, par rapport à 150. Dans un tel contexte, la notion de d'écart-type me paraît très discutable et on devrait plutôt, sauf cas de force majeure, utiliser écarts moyens et médians à la moyenne plutôt qu'écart-type. Avec les ordis, cela ne poserait vraiment aucun problème.

Le résultat de la fixation fétichise sur l'écart-type, c'est qu'on arrive pas à faire passer des infos qui seraient pourtant très importante.

Foys · May 2013

L'écart-type (contrairement à la moyenne des écarts à la moyenne ou autre) apparaît dans le théorème central limite.
C'est-à-dire que si les variables $(X_k)_{k=1..n}$ sont toutes de carré intégrable, de même loi, de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ alors quand $n$ est "énorme", la grandeur $Z=\frac{\sum_{k=1}^n X_k}{\sqrt(n)}$ a un comportement qui ne dépend pas de la loi de $X_k$ mais seulement de $\mu$ et de $\sigma$, ce dernier contrôlant la différence entre $Z$ et sa moyenne. Dans les situations où la loi de $X_k$ est inconnue et où on prédit le comportement de sommes $\sum_{k=1}^n X_k$ les encadrements se feront avec des fonctions de $\sigma$.

gerard0 · May 2013

Bonjour Christophe Schouwey.

Dans l'absolu tu as raison. Et tu aurais pu aussi citer les journalistes météo avec leur "normale saisonnière". Mais il ne faut pas jeter le bébé avec l'eau du bain. Et d'ailleurs on entend de plus en plus des médianes (salaires, revenus,...) à la place de moyennes.
Mais la moyenne est tellement utilisée dans les notes que c'est la seule caractéristique statistique que tout le monde connaît. C'est là que ça démarre.
Dans le grand public, l'écart type est rarement utilisé, par contre son utilisation scientifique en fait une caractéristique fondamentale.

Cordialement.

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