résultant de polynômes

Séverine
Séverine
dans Algèbre
Bonjour,

J'aimerais montrer la proposition suivante :
Soit A un anneau factoriel, P et Q deux polynômes de A[X].
Le résultant de P et Q est nul ssi P et Q ont un facteur non constant commun.

Je ne sais déjà pas le montrer pour A un corps, ça me suffirait déjà. Je ne sais pas quelle propriété de A on utilise (est-ce que A factoriel suffit ? ).
Je voudrais montrer d'autres propriétés sur les résultants et discriminants. Quels bouquins me conseillez-vous ? J'ai déjà regardé dans le Ramis Deschamps Odoux.

Réponses

  • Ma~
    Ma~
    Bonjour,
    Regarde dans Saux Picart, Cours de calcul formel (tome 1 ou 2, je ne sais plus). Il me semble que le résultant y est indroduit assez clairement.
  • Séverine
    Séverine
    Merci, je regarderai dans ce livre.
  • Archimède
    Archimède
    $P$ et $Q$ ont un facteur irréductible non constant commun dans $A[X]$ ssi $P$ et $Q$ ont un facteur irréductible commun dans $Fr(A)[X]$. On est ainsi ramené au cas où les coefficients sont dans un corps.

    En effet supposons que
    $P=\frac{R}{a}\,\frac{S}{b}$ avec $P,R,S\in A[X]$, $a,b\in A^*$, $\deg{S}\geq 1$.
    En prenant le contenu on obtient
    $c(P)=\frac{c(R)\,c(S)}{a\,b}$
    d'où
    $P=\frac{c(P)\,R}{c(R)}\,\frac{S}{c(S)}$
    et les 2 facteurs sont dans $A[X]$, le second de degré $\geq 1$.

    De même pour $Q$.

    En fait l'hypothèse $A$ factoriel est utilisée pour prouver que le contenu d'un produit est le produit des contenus. Il est possible que l'on puisse affaiblir cette hypothèse !
  • -Omar-
    -Omar-
    Bonjour,

    Si $A$ est un anneau intègre, en désignant par $A_n[X]$ l'ensemble des
    polynômes de degré $<n$ le résultant $Res(f,g)$ de $f$, de degré $p\ge 1$ et de
    $g$ de degré $q$ est défini comme le déterminant de l'application linéaire
    $\phi : A_q[X]\times A_p[X]\mapsto A_{p+q}[X] , (u,v)\mapsto uf+vg$.
    Ce résultant se calcule à l'aide de la matrice de Sylvester, qui ne
    fait intervenir que les coefficients de $f$ et $g$.

    En désignant par $K$ le corps des fractions de $A$, $\phi$ est injective
    sur $K_q[X]\times K_p[X]$ si et seulement si $Res(f,g)\not=0$. L'injectivité
    de $\phi$ sur $K_q[X]\times K_p[X]$ implique son injectivité sur $A_q[X]\times A_p[X]$.
    D'autre part, si le résultant est nul, il existe $u\in K_q[X]$ et $v\in
    K_p[X]$ tels que $uf+vg=0$. En mettant aux même dénominateur $d $ les
    coefficients de $u$ et $v$, on a $du=u_1\in A_q[X]$ et $dv=v_1\in A_p[X]$
    tels que $u_1f+v_1g=0$ et $\phi$ n'est pas injective sur $A_q[X]\times A_p[X]$.

    Si $f$ et $g$ sont premiers entre eux, la relation $uf+vg=0$ montre que
    dans $K[X]$, $f$ divise $v$, soit $v=fh$, puis $u=-gh$. Comme le degré
    de $u$ est $<$ que le degré de $g$, et que le degré de $v$ est $<$ que
    le degré de $f$, on obtient $h=u=v=0$. Réciproquement si $f$ et $g$
    ne sont pas premiers entre eux dans $K[X]$, en désignant par $D$ leur
    pgcd, on trouve $g_1$ et $f_1$ dans $K[X]$, $f_1$ de degré $<$ à celui
    de $f$ et $g_1$ de degré $<$ à celui de $g$, tels que $f=Df_1$ $g=Dg_1$.
    Cela donne $g_1f-f_1g=0$ et une même expression dans $A[X]$ en chassant
    les dénominateurs de $f_1$ et de $g_1$.
    Le résultant est donc non nul si et seulement si $f$ et $g$ sont premiers entre eux dans
    $K[X]$. Ils sont alors premiers entre eux dans n'importe quelle extension $L$
    de $K$ et ne peuvent donc avoir aucune racine commune dans une extension
    de $K$. Il est bon ici de se rappeller que si $D$ est le pgcd de $f$
    et $g$ dans $K[X]$ c'est aussi le pgcd de $f$ et de $g$ dans $L[X]$,
    $L$ extension de $K$. Tout cela s'applique bien sûr si l'anneau est factoriel.

    Amicalement

    Omar
  • Séverine
    Séverine
    Merci Omar, je vais relire tout ça..
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