Equation de la chaleur

Bonjour à tous,
Un ptit coup de main pour cet exercice ne serait pas de refus
Alors pour la 1) je dois montrer que $u$ est une solution faible :
Je calcule donc $ A= \int_{\Omega x [0,T]} u(x,t)(\phi_t(x,t)+\Delta \phi (x,t)) dx dt$
Et apres intégration par partie successives, et me servant de $u$ solution classique je trouve :
$ A= \int_\Omega [ \frac{d u(x,t)}{dt}\phi (x,t) - u(x,t)\phi (x,t) - u(x,t)\frac{d \phi (x,t)}{dt} ]_0^T dx $
Alors ma question pourquoi est ce que cela vaut 0 ???
Si les bornes n'était pas $0$ et $T$ mais $\infty$ j'aurais compris car $\phi$ est à support compact mais la je comprend pas pourquoi ca doit faire 0 .

Pour la deux je comprend meme pas la question ! la si une fonction converge uniformément vers u u est unique non ?? donc ben je comprend pas trop la première partie et la deuxieme je vois pas comment faire...
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Réponses

  • regarde bien la définition de $\mathcal D (\Omega \time ]0;T[)$
  • Ouiiiiiiiii c'est bon j'ai rien dit c'est un compact qui doit etre inclus dans $\Omega * ]0,T[$ et pas dans l'adhérence j'ai mélangé deux définitions ...... sans commentaire !

    Et par contre pour la deux une idée ?
  • pour la deuxieme question, si tu avais $u_k=v$ sur tout ${0}\times\bar{\Omega}$ donc ils seront egales sur ${0}\times\partial\Omega$ ce qui nous permettera d utiliser le principe de comparaison.........
  • Le principe de comparaison c'est pas justement l'inverse si deux solutions restreintes à la frontiere sont égales, alors elles sont égales partout ?
  • Si c est bien ca
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