intégrale

Bonjour,

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $\int_0^1 f(t) dt=0$. On pose $$m=\inf_{x\in [0,1]}f(x), \ M=\sup_{x\in [0,1]}f(x).$$ Montrer que $$\int_0^1 f^2(t) dt \leq mM$$


Bien sûr, il y a le cas de la fonction nulle qui est évident. En supposant ensuite, $f\neq 0_{[0,1]}$, la condition $\int_0^1 f(t) \mathrm dt=0$ implique que $f$ change de signe et donc $m<0$ et $M>0$. Mais après ça, je ne vois pas comment attrapper le produit $m M$ comme majorant.

Une idée ?
Merci.