Classe modulo un sous groupe

sami7 · January 2007

Salut,je bloque sur un exo, j'ai par ailleurs quelques idées que je n'arrive pas bien à exploiter. Mais ce qui m'embête le plus c'est que je ne vois pas à quoi sert l'hypothèse [F:H] et [F:K] premiers entre eux. Voici lénoncé :

H et K deux sous groupes d'un groupe G.
F sous groupe de G engendré par H union K.
On suppose [F:H] et [F:K] finis et premiers entre eux.
Prouver les égalités suivantes: [F:K] = [H: H inter K] et [F:H] = [K: H inter K].

Merci d'avance pour toute explication et précision sur cet exercice.

Alexandre Vandeville · January 2007

>je bloque sur un exo, j'ai par ailleurs quelques idées que je n'arrive pas bien à exploiter
Quelles sont ces idées?

mohamedalahaschimiy0 · January 2007

Si mes souvenirs sont bons, je pense que l'hypothèse que pgcd(|H|,|K|)=1 montre que |F|=|K|*|H|, et que l'intersection de K et H est réduite à l'élément neutre, en effet si cette intersection contienait un autre (ou plusieurs) éléments, d'après le théorème de Cauchy il existe un sous-groupe dont l'ordre est plus petit nombre premier divisant la cardinal de l'intersection, ce qui n'est pas vrai.
Finlement ton exo est évident !!

Guimauve · January 2007

Mohamed : les groupes ne sont pas supposés finis.

sami7 · January 2007

Mohamed, ce n 'est pas les ordres de H et K qui sont premiers entre eux mais l' indice de H dans F et l'indice de K dans F qui sont premiers entre eux. D autre part H et K ne sont pas supposés finis

loulmet · January 2007

Bonjour

L' énoncé est faux:

G : groupe symétrique d' ordre 3.
H : sous groupe engendré par un 3-cycle.
K : sous-groupe engendré par une transposition.
F = G.

Amicalement,

gb · January 2007

Si je ne me trompe, dans ton "contre-exemple", $H \cap K = \{1\}$, et
$[F : K] = [H : H \cap K] = 3$ et $[F : H] = [K : H \cap K] = 2$.

loulmet · January 2007

Re

Ce que j' ai dit est absurde et à effacer, Merci.

Amicalement,

sami7 · January 2007

Alexandre, j ai montré dans un premier temps que: Soit {Xi} i appartient à J, une famille de représentants des classes à droite distinctes de H modulo H inter K.
1) Dans F on a Kxi = Kxj <=> i = j.
2) J’en ai déduit [H:H inter K] est inferieur ou egal à [F : K] et conclus que [H : H inter K] est fini.
3) J’ai ensuite réussi à montrer que : [H : H inter K] = [F : K] si F = HK.
Mais voilà F engendre par H union K est égale à HK si HK est sous groupe de G, or HK dans l’exercice n’a pas de raison d’être un sous groupe de G car si tel était le cas l’ exercice est terminé, à moins que quelque chose m’ échappe et notamment cette hypothèse premiers entre eux .

Classe modulo un sous groupe

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