point fixe et "algèbre"

corentin
corentin
dans Analyse
Bonjour;
Je suis en train de préparer la leçon "utilisation des théorèmes de point fixe", et je me suis dit qu'exceptionnellement j'allais faire un effort d'ouverture d'esprit en casant de l'algèbre dedans.
J'ai lu plusieurs fois qu'on peut démontrer l'existence d'une mesure de Haar (qu'est ce que c'est d'ailleurs?) sur un groupe compact de $GL_n$ à l'aide de théorèmes de point fixe. D'où trois questions:
Quel est le théorème de point fixe utilisé? Références? A quoi ça sert?
Merci.

PS: apparemment la case latex se décoche après aperçu sur le nouveau forum. Je vote pour maintenir son non décochage comme pour l'ancien.

Réponses

  • pB0
    pB0
    L'existence de la mesure de Haar, de mémoire, c'est de l'analyse fonctionnelle. Une histoire de convexité et d'action de groupe. Toujours de mémoire, c'est plus difficile dans le cas localement compact que dans le cas compact. Cela doit être dans mon Bourbaki sur les espaces vectoriels topologiques :)
  • corentin
    corentin
    Merci, mais Bourbaki c'est peut être un peu... rébarbatif pour moi.
  • Alexandre Vandeville
    Alexandre Vandeville
    Bonjour corentin,

    Ceci peut-être ?
    \lien{http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/PointFixe.pdf}

    Bonne chance pour l'agreg (:P)
  • corentin
    corentin
    Ah oui, je l'ai parcouru très rapidement, c'est très "agrégativement correct" (ce qui ne veut pas dire que les maths qui y sont ne me plaisent pas!). Merci.
    Sinon, je suis toujours preneur d'un livre traitant de ça, vu que je ne me pense pas capable de retenir de tels trucs.
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    on peut démontrer l'existence d'une mesure de Haar sur un groupe compact comme corollaire du théorème du point fixe de Kakutani.
  • skippy
    skippy
    Chapeau Corentin.
    Je n'ai pas mis la barre aussi haute pour cette leçon.. loin de la.
    J'ai vu pas mal de théorèmes de point fixe dans le petit guide du calcul différentiel de "Rouvière" je crois... Ils sont un peu originaux je trouve.
  • gilles benson
    gilles benson
    bonsoir, incidemment ce thème: Kakutani + mesure de Haar est traité dans le bouquin de Rudin: {\it Functional analysis} page 120 et suivantes dans ma vieille édition chez TMH (New Delhi) de 1974.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • pB0
    pB0
    En regardant sur Wikipédia (en anglais), je vois que le théorème de Kakutani n'est pas le même pour les anglais ! (en tout cas, à première vue, il ne ressemble pas à "la version française").
  • Ayman0
    Ayman0
    Si tu veux caser de l'algèbre (bon c'est plus de la logique mais au moins c'est original), tu peux placer la démonstration de Cantor-Bernstein par le théorème de point fixe de Tarski C'est la démo numéro deux du wikipédia:

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cantor-Bernstein

    c'est pas très compliqué et ça utilise un théorème de point fixe. Par contre:

    1) Ca fait pas un développement je pense, mais ça meuble la leçon et c'est original

    2) Si tu l'écris dans ton plan, évites de parler de Tarski, dis juste "par un théorème de point fixe", faudrait pas qu'il leur vienne l'envie de titiller sur la théorie des ensembles..

    Voilà voilà

    --
    Ayman
  • Ben
    Ben
    Le théorème de Knaster Tarski dont découle immédiatement Cantor Bernstein figure dans Ensembles, Logique et Catégories, le point de vue constructif chez Ellispes. Et je confirme que cela ne fait pas un développement, vu que je le donne en colle en sup ... (enfin avec un énoncé légèrement modifié)
  • corentin
    corentin
    Bon, je viens de découvrir qu'il y a eu des nouveaux commentaires, donc merci déja (même si je ne pense pas les utiliser, je vais plutôt me focaliser sur des trucs bateaux d'analyse numérique et me lacher un peu avec des points fixes sur les EDP).

    Je viens de finir de lire ce petit papier sur la mesure de Haar, et il y a l'une des affirmations que je ne comprends pas: lors de la preuve de l'existence d'une mesure de Haar, il est dit qu'on montre qu'elle est invariante par translation à droite "de la même manière": j'ai des doutes. L'égalité $(*)$ est cruciale pour cela, et il me semble qu'on ne peut plus l'utiliser quand on translate à droite, donc je ne vois pas trop comment on fait (ce qui est gênant, car on utilise l'invariance à droite pour la preuve de l'unicité).
    Quelqu'un aurait il mieux compris?
  • Ben
    Ben
    Sinon, si tu aimes la topologie algébrique, tu peux parler du théorème de Brouwer (encore qu'il existe une preuve à base de calcul d'intégrales multiples qui était tombée de façon déguisée aux ENSI il y a quelques années). Une preuve combinatoire (lemme de SPerner) se trouve dans proofs from the Book, et tu peux envisager quelques applications de Brouwer puisque la leçon porte sur les conséquences des théorèmes de point fixe. Parce que l'inversion locale en développement c'est bien gentil mais on vous attend au tournant (c'est bien technique si on rentre dans les détails).
  • corentin
    corentin
    Oui oui, je compte bien parler de Brouwer, ne serait ce que parce que Schauder en découle assez élémentairement, et que Schauder a de jolies applications en EDP (même si ça serait un paragraphe plutôt "culturel", vu qu'il suppose qu'on dispose d'espaces de Sobolev, et d'un morceau de Rellich Kondrakov...).
    Brouwer, je pense qu'il est bien de citer deux théorèmes de géo diff auxquels il est équivalent: non rétraction de la boule unité, et théorème de la boule chevelue.
    Et puis sans doute dire que ça implique une version de Perron Frobenius à pas très cher.
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