Loi de 0-1

Alp · January 2007

Bonjour à tous,

J'ai 2 petits problèmes lors de l'application de cette loi de 0-1 de Kolmogorov. Le premier étant celui-ci :
On se donne une suite $X_{k}$ de v.a. iid de loi exponentielle de paramètre 1. On nous demande de montrer que $P(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}=1)=1$
De façon assez mystérieuse, dans son corrigé, le prof nous dit d'utiliser la loi de 0-1 et de bien détailler :-) Et justement, je n'y arrive pas ! Pourrai-je avoir une petite indication ?

Dans le même ordre d'idée, on définissait une série entière à coefficients aléatoires et il fallait montrer que le rayon de convergence était une constante presque sûrement (finie ou infinie). En utilisant la formule de Hadamard, le prof nous disait aussi d'utiliser une loi de 0-1 pour justifier ce fait, sans nous montrer réellement comment ça marchait ! (on a juste dit que le rayon de convergence, en raison de sa forme (l'inverse d'une limsup d'un truc), était une fonction mesurable par rapport à un certain nombre de tribus et en appliquant le principe des tribus terminales, on pouvait aboutir à quelque chose...)

Yop0 · January 2007

Le premier est un conséquence assez simple du lemme de Borel-Cantelli.

La loi du 0-1 permet effectivement de montrer a priori que la limsup est constante, mais ensuite... ? Je ne vois pas trop comment faire plus simple qu'avec Borel-Cantelli.

Alp · January 2007

Oui Borel-Cantelli n'est qu'une application du 0-1, cependant dans ma première question il s'agit de considérer la $\limsup$ d'une suite de v.a., et non la $\limsup$ des événements $\displaystyle {\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}=1}$. A moins que ce soit la même chose ? :-)

[Ne pas oublier de cocher la case $\LaTeX$. AD]

Yop0 · January 2007

Peux-tu détailler la phrase suivante ?

<<
Borel-Cantelli n'est qu'une application du 0-1
>>

Sinon, pour ton exo, regarde, pour tout réel $a$, la probabilité de la limsup des évènements $\{X_k/\ln(k+1}>a\}$.

Alp · January 2007

Yop j'ai dis une bêtises pour Borel-Cantelli

Sedanais · January 2007

Bonsoir.

Voici une solution sans la loi du 0-1 (que je n'arrive pas à faire apparaître) :
On a $\sum_{k=1}^{+\infty}P\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1\right)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k+1}=+\infty$,
donc par Borel Cantelli $P\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq1\right)=1$.

De même pour tout $r>0,\ P\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1+r\right)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{{k+1}^{1+r}}<+\infty$
donc $P\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1 +r\right)=0$.
On en déduit facilement la conclusion attendue.

Est-ce que mon $\LaTeX$ fonctionne ???

(Oui à condition de coder $\infty$ en {\it infty} et non {\it infinity})
Merci de vérifier que je n'ai pas retranscrit n'importe quoi...
Longjing

[Merci à Longjing pour la correction du LaTeX. AD]

Sedanais · January 2007

Ok, merci bcp pour les corrections.
Moi et les nouvelles technologies...

Lucas3 · January 2007

Bonjour,

Ta preuve est juste, mais d'après moi il y a une confusion. Ce n'est pas
\begin{displaymath}
P\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1\right)
\end{displaymath}
qui est égale à $\frac{1}{k+1}$, c'est $P\left(\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1\right)$. Pareil pour la deuxième somme.

Sedanais · January 2007

Ok, je rectifie...
${\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\right)\geq 1}$ contient $\limsup\left({\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1}\right)$, donc $P\Big({\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\right)\geq 1}\Big)=1$ d'après le raisonnement qui précède.

Pour montrer la suite on s'en sort en disant que $\left(\limsup\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\right)\geq 1+r$ est contenu dans $\limsup\left({\frac{X_{k}}{\ln(k+1)}\geq 1+r/2}\right)$.

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