Groupes

marine59
marine59
dans Algèbre
Bonjour,voilà je passe les ratrappages de mes examens la semaine prochaine et je galére vraiment pour l'application du cours en Algebre (meme si je connais mon cours)

Voici 1 partie du sujet que l'on a eu:

Soient G un groupe et A<=G,B<=G deux sous-groupes de G

(0)Soit R la relation binaire sur G definie par:
Vx€G Vy€G xRy<=>(x^-1)y€(A inter B)
La relation R est une relation d'équivalence

(1)Considérons la relation du (0)restreinte aux elements de A.Soit £ un systeme de representants des classes d'equivalence des elements de A modulo A inter B(autrement dit,dans chaque classe d'equivalence distincte a(A inter B),a€A,on choisit un element µ unique)
(1.1)Exprimer A en fonction de £ et de A inter B
(1.2)Montrer que AB=U(µAB) en prouvant que l'union est disjointe

Réponses

  • Erlangen0
    Erlangen0
    Indications pour (1.1) : comme A et B sont des sous-groupes, que peux-tu dire de A inter B ? La relation d'équivalence R ne ressemble-t-elle pas à une relation que vous avez vue en cours ? L'énoncé te rélève gentiment la forme des classes d'équivalence : quel est le lien entre la classe de µ et celle de a ? Et enfin : que peut-on dire en général de la collection des classes d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

    Dans (1.2), il semble y avoir un problème : comme tous les µ sont dans A et que A est un sous-groupe, on a µA=A, donc µAB=AB et l'union est tout sauf disjointe ! Es-tu sûre d'avoir bien recopié l'énoncé dans ton message ?
  • marine59
    marine59
    (1.1)
    A inter B est sous-groupe de G
    La relation d'equivalence R est une relation compatible
    Pour le reste je ne vois pas

    (1.2)
    Je me suis trompée c'est Montrer que AB=U(µB) en prouvant que l'union est disjointe
  • marine59
    marine59
    Il n'y a personne pour m'aider ?
    Je galère vraiment et je n'ai plus le droit à l'erreur.
  • marine59
    marine59
    Je remercie Erlangen de m'avoir répondu
    Je vais essayer de me debrouiller toute seule
  • gb0
    gb0
    Pour (1.2) si $ab \in AB$, avec $a$ dans la classe représentée par $\mu$, montre que $ab \in \mu B$.
  • Alexandre Vandeville
    Alexandre Vandeville
    Bonjour Marine,

    >(1.1)Exprimer A en fonction de £ et de A inter B
    On a (voir l'indication de Erlangen): $A = \cup_{\alpha \in £} \alpha (A \cap B)$.
    >(1.2)Montrer que AB=U(µAB) en prouvant que l'union est disjointe
    $\subset$: Soit $x \in AB$, il existe $e \in A$ et $b \in B$ tel que $x=ab$? Or il existe $\alpha \in £$ de sorte que que $a \in \alpha (A \cap B)$ (d'après (1.1)) mais alors il existe $c \in A \cap B$ tel que $a= \alpha c$. Donc $x = ab = \alpha cb = \alpha b'$ où $b' \in B$ d'où l'inclusion.
    $\supset$: Je te la laisse!
    Enfin reste à montrer que l'union est disjointe. Soient donc $ \alpha \neq \alpha '$, on va montrer que $\alpha B \cap \alpha ' B = \emptyset$. Par l'absurde, supposons qu'il existe un $x \in \alpha B \cap \alpha ' B$. Alors, il existe $b,b' \in B$ de sorte que $x= \alpha b=\alpha ' b'$ d'où $\alpha'^{-1} \alpha (\in A) = b'b^{-1} (\in B)$. mais alors $\alpha'^{-1} \alpha \in A \cap B \Leftrightarrow \alpha ' \sim \alpha '$ ABSURDE!
  • marine59
    marine59
    Je te remercie Alexandre (au fait tu as eu combien aux examens?)

    .Ensuite on demande le cardinal de l'ensemble £ ?
    J'ai mis que card (£)=[$G$:$A\capB$]
    =o(G)/o(A$\cap$B)
    est-ce bon?

    .Prouver que : card(AB)=(card(A)*card(B))/card(A$\cap$B)

    .En utilisant le fait que AB=UµB(µ$\in£$) montrer que:
    (G:A$\cap$B)<=(G:A)(G:B)
  • marine59
    marine59
    de l'aide svp!!
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