spectre et vitesse de convergence

Séverine · January 2007

Bonjour,

j'étudie une chaine de Markov $(X_n)$ qui représente le nombre de gènes b dans une population à la n-ème génération.
La matrice de transition est donnée par P avec $p_{ij}$=C(2N,j).$\frac{i}{2N} . ( \frac{2N-i}{2N} ) ^{2n-j}$

On sait que le temps d'extinction est proportionnel à la taille de la population.
Ce que je ne comprends pas pas, c'est le lien entre la valeur propre de plus gd module de P et la vitesse à laquelle on arrive au tps d'extinction,ie qd le nombre de gènes b est nul ou vaut la taille totale de la population.
On sait que 1-$\frac{1}{2N}$ = a est la plus gde valeur propre en module.
Je dois conclure alors que $P(X_n=j)$ est de l'ordre de $c.x_j.a^n$ quand n tend vers l'infini, avec c une cste qu idépend de la loi de $X_0$.
Je ne vois pas du tout le lien. Et même si j'admets ça, je ne vois pas en quoi ça me donnera des indications sur le temps d'extinction.

GERARD à la maison · January 2007

Salut Séverine.

Je ne connais pas les règles mathématiques précises, mais l'idée géométrique qui est derrière : Dans l'espace des états le vecteur propre V correspondant à la plus grande valeur propre v est celui qui est le plus agrandi par l'effet de la matrice (ou le moins réduit) : il devient vV. Et, en n applications de la matrice, $v^n V$. Donc aucun vecteur n'est multiplié par plus de $v^n$.
Si v est inférieur à 0, au bout de n étape, tous les vecteurs sont au moins $v^n$ fois ce qu'ils étaient, donc en général presque nuls pour n grand.
Par contre, je doute que ce soit "de l'ordre", mais plutôt "au plus de l'ordre".

Si ta matrice est diagonalisable (j'ai un doute : n'est-ce pas le cas pour les matrices stochastiques ?), on doit pouvoir mathématiser cela assez facilement en passant par la décomposition diagonale.

Cordialement

Gérard

NB : Je suis toujours un peu en défaut en calcul matriciel, j'ai appris ç rapidement pour passer l'agreg interne. Par contre, je sais souvent quel calcul pourrait être utile.

gilles benson · January 2007

gluprs

Sedanais · January 2007

Bonsoir.

Ce qui suit est valable si la matrice P est diagonalisable. Sinon, ça reste encore sûrement vrai, mais il faut changer la justification.

N'a t-on pas p(Xn=j|X0=i)=P^n(i,j) ?
Et si P=Q^{-1}DQ avec D diagonale, P^{n}=Q^{-1}D^{n}Q.
Donc P^{n}(i,j) est la somme sur les k,l de Q(i,k)D^{n}(k,l}Q^{-1}(l,j), qui, puisque D est diagonale vaut la somme sur k des Q(i,k)D^{n}(k,k}Q^{-1}(k,j). Asymptotiquement c'est équivalent à a^{n} (à une constante multiplicative près) puisque c'est ce terme qui l'emporte parmi ceux qui apparaissent dans les D^{n}(k,k).

On en déduit que P(Xn=0 ou b)=P(Xn=0)+P(Xn=b) est de l'ordre de a^n.

Séverine · January 2007

Merci beaucoup pour ces indications. Je comprends mieux l'idée.
Par contre, une matrice stochastique n'est pas forcément diagonalisable :
$$A= \begin{pmatrix}0.5 & 1 & -0.5 \\
0 & 0.5 &0.5 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} $$
n'est pas diagonalisable car 0.5 est valeur propre double mais son espace propre associé est de dimension 1. Et pourtant,la somme des éléments de chaque ligne de A vaut 1.

J'ai une autre question sur un calcul d'espérance conditionnelle :
Je sais que $(Y_n)$ est une martingale et que $E(Y_{n+1}/Y_n=i)=i$
Je dois calculer :$E((Y_{n+1}-Y_n)^2/Y_n=i)=\dfrac{i(2N-i)}{2N}$
En fait, j'obtiens $E(Y_{n+1}^2/Y_n=i)-2i+i^2$, mais je n'arrive pas à finir. J'essaie de trouver un résultat qui ne dépend que de $i$ et de $N$.

[Corrigé selon ton indication. AD]

spectre et vitesse de convergence

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